Тесты ориентации точки относительно полигона

1. Выпуклый тест. Определяет положение точки относительно полигона (рис. 10): внешняя точка, внутренняя точка, граничная точка (внешнее подпространство полигона считается положительным, внутреннее – отрицательным, граница соответствует нулю).

2 . Габаритный тест. Определяет гарантированную непринадлежность точки q произвольному полигону P путем сравнения ее координат с габаритами полигона – минимальными и максимальными координатами его вершин. Полностью задачу ориентации габаритный тест не решает, тем не менее, благодаря своей простоте, применяется во многих алгоритмах для быстрого обнаружения заведомо непересекающихся геометрических объектов (рис. 11).

3. Угловой тест. Основан на вычислении и анализе алгебраической суммы углов _i=(V_i, V_i+1) между смежными векторами V_i=p_i-q, соединяющими точку q с вершинами p_i, при обходе произвольного полигона P по замкнутому контуру в произвольном направлении.

Т очка является внутренней, если сумма углов ∑_i=2 π (рис. 12). Точка является внешней, если сумма углов ∑_i=0 (рис. 13).

Точка является граничной (принадлежит границе полигона):

● если при расчете векторов получен нулевой вектор V_i=0, то тестируемая точка совпадает с вершиной p_i;

● если при расчете углов _i получен развернутый угол с модулем | _i | = π, то тестируемая точка лежит на ребре p_i p_i+1.

Существуют две разновидности углового теста – радианный и октантный.

Лучевой тест ориентации точки q относительно полигона p заключается в выпускании из этой точки в произвольном направлении V луча p(t)=q+Vt ( t > 0) и подсчете числа его пересечений с ребрами p. Анализ пар дает следующие критерии ориентации точки относительно полигона: точка является внутренней, если число пар нечетно (t_i>0, 0<_i<1); точка является внешней, если число пар четно, в том числе равно нулю; точка лежит на границе p, если найдется хотя бы одна пара, для которой t_i=0, 0_i1.

Особенности лучевого теста (рис. 14):

●  неопределенность числа пересечений при прохождении луча точно через вершину p_i при _i=1 или вершину p_i+1 при _i=0. Необходимо повторить тест заново с другим направлением луча V;

● требуется расчет параметров пересечения луча со всеми ребрами полигона.

Исследуются параметры пересечения луча с отрезками p_i+(p_i+1–p_i), 01.

Лекция 11 Базовые растровые алгоритмы Алгоритмы вывода прямой линии

Пусть заданы координаты (x1,y1) и (x2,y2) концов отрезка прямой линии. Для вывода линии необходимо закрасить в определенный цвет все пикселы вдоль линии. Для того чтобы закрасить каждый пиксел, необходимо знать его координаты.

Наиболее просто нарисовать отрезок горизонтальной линии (y1=y2): для x от x1 до x2 с шагом 1 закрашиваются соседние пикселы (x, y1). (Эта операция достаточно проста и применяется в алгоритмах закрашивания полигонов.)

Аналогично изображается отрезок вертикальной линии.

Горизонтали и вертикали представляют собой частный случай линий. Рассмотрим линию общего вида. Известно несколько методов расчета координат точек линии.

Прямое вычисление координат. Пусть заданы координаты конечных точек отрезка. Координаты внутренней точки отрезка вычисляются следующим образом:

x=f(y): x=x₁+(y-y₁)(x₂-x₁)/(y₂-y₁)

или

y=F(x): y=y₁+(x-x₁)(y₂-y₁)/(x₂-x₁).

В зависимости от угла наклона прямой выполняется цикл по оси x (если |x₂-x₁|>|y₂-y₁|) или по оси y (в противном случае).

Для того чтобы свести к минимуму вычисления в цикле, все операции над константами выносятся из тела цикла:

k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), yy=y₁-x₁*k.

В цикле вычисляется y=yy+x*k.

Если учесть, что вычисления выполняются как итеративный процесс, где x на каждом шаге увеличивается на единицу, то вычисления в данном алгоритме еще более упрощаются:

k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), y=y₁.

Для x от x₁ до x₂ с шагом 1 вычисляется y=y+k.

С учетом того, что вычисление дробей в компьютере происходит с определенной погрешностью, возможно ситуация, когда на последнем шаге цикла x окажется не равным x₂. Это необходимо учитывать при использовании алгоритма.

Положительные черты алгоритма прямого вычисления координат:

• простота, ясность построения алгоритма;

• возможность работы с нецелыми значениями координат отрезка.

Недостатки:

• использование операций с дробными числами или целочисленных операций умножения и деления обуславливает малую скорость;

• при вычислении координат путем добавления приращений может накапливаться ошибка.