Лекция 13.Частотные методы оценки качества

13.1. Теоретическое обоснование

 

Частотные методы основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик, которые можно снять экспериментально, поэтому они находят широкое применение. В частности зная АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j), можно построить АФЧХ замкнутой САУ

 

Wз(j) == P_з() + jQ_з(),

 

а по ней - требуемую для частотных методов вещественную ЧХ замкнутой САУ P_з(). Зная ВЧХ замкнутой САУ, можно приближенно построить переходную характеристику САУh(t), которую снять экспериментально очень трудно, и по ней определить показатели качества управления.

Теоретическое обоснование этого в том, что любую функцию, в том числе и единичную ступенчатую, можно разложить в ряд Фурье:

 

1(t) = A₀ + A_k1cos(kt) + A_k2sin(kt)].

 

Так как замкнутая САУ линейна, то при подаче на вход суммы сигналов с выхода снимается сигнал, равный сумме реакций на каждый из входных сигналов. Входному сигналу ui(wi,t) на выходе будет соответствовать составляющая выходного сигнала y_i(_i,t) = W(j_i)u_i(_i,t), тогда

 

 

h(t) = = A₀W(0) + (jkw)[A_k1cos(kwt) + A_k2sin(kwt)].

Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t)через составляющие ВЧХ:

 

; ,

 

где P()иQ()- вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.

 

13.2. Основные соотношения между вчх и переходной характеристикой

1.Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристикиhу_ст = P() = P(0).

 

 

2.САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3.САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеетапериодическуюпереходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулирования s_maxне превышает 18%.

4.Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулированияs_maxтем больше, чем больше отношениеP()_max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

 

s_max < .

 

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5.Время переходного процессаt_ппможно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривойh(t). Оно определяется полосой частотw_п, при которых P() > 0.2P(0)(рис.98). _пназывают интервалом положительностиP(). При этом всегда t_пп >p/_п. Для кривой 1 рис.97а:t_пп4/_п. Для кривой 2:t_пп(1..4)4/_п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношениеP()_max/P(0).