Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / Курс лекций по ТАУ.doc
Скачиваний:
387
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
1.79 Mб
Скачать

Лекция 9.Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинствов простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

 

9.1. Принцип аргумента

 

Запишем характеристический полином САУ в виде

 

D(p) = a0(p - p1)(p - p2)...(p - pn) = 0.

 

 

 

 

Его корни

pi = i + ji = |pi|ejarg(pi),

 

где arg(pi) = arctg(i/ai) + k,

.

 

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - piизобразится разностью векторов (рис.68б), гдеp - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - piбудет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так какpi- это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , тоp = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn).

 

При этом концы векторов j- piбудут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от- до+ , то каждый векторj- pi будет поворачиваться относительно своего началаpiна угол +pдля левых и- pдля правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

 

D(j) = |D(j)|ejarg(D(j)),

где    |D(j)| = a0|j- p1||j- p2|...|j- pn|,

arg(D(j)) = arg(j - p1) + arg(j - p2) + .. + arg(j- pn).

 

Пусть из n корнейm- правые, аn - m- левые, тогда угол поворота вектораD(j)при изменении от- до +равен

 

= (n - m)- m,

 

или при изменении от0до +получаем

= (n - 2m)(/2).

 

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от -до +равно разности между числом левых и правых корней уравненияD(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от0до +эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

 

9.2. Критерий устойчивости Михайлова

 

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектораD(j)составит

 

= n/2.

 

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j)при изменении частоты от 0 до +повернется на уголn/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так какD(0) = an, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность вn- ом квадранте  (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов  (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и естьнеобходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j)представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

 

 D(j) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn) = a0(j)n + a1(j)n - 1 + ... + an = ReD(j) + jImD(j),

где

ReD(j) = an - an - 22 + an- 4 4 - ...,

ImD(j) = an - 1 - an - 33 + an- 5 5 - ....

 

Меняя от0допо этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.