Математические модели в демографии

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Составитель П. А. Ватник

Санкт-Петербург

2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. Ротационная динамика

2. Продольный анализ

3. Некоторые аналитические функции дожития

4. Дискретная модель дожития

5. Модель воспроизводства стабильного населения

6. Доля трудоспособного населения

7. Модели генетической демографии

8. Модели эпидемий

9. Модели миграции

1. Ротационная динамика

Баланс запаса и потоков:

X′ x_ – x_– , (1)

где X — объем запаса, X′ dX/dt, x_ и x_– — интенсивности потоков, индексы «» и «–» обозначают, что величина относится к входному или выходному потоку соответственно.

Допустим, что X обозначает объем запаса, а Y – его массу. Масса также отвечает балансовому условию вида (1):

Y′  y_ – y_– . (2)

Оба соотношения предполагают, что в запасе отсутствует порождение/исчезновение объема и массы, и вся динамика определяется только входом и выходом (иначе: динамика имеет целиком экзогенную природу). Порождение или исчезновение потребовали бы дополнительного слагаемого в правой части.

Пусть  обозначает среднюю плотность запаса, _, _– — плотности соответствующих потоков, так что

Y  X; y_  _x_; y_–  _–x_– .

Подставляя эти выражения в (2), имеем:

X  X′  _x_ – _–x_– ,

или, принимая во внимание (1),

X  x_ – x_–  _x_ – _–x_– .

Перегруппировав слагаемые, получим дифференциальное уравнение динамики средней плотности запаса:

X  (_ – ) x_ – (_– – ) x_– .

Разделив обе части на X и используя обозначения r_  x_/X для оборачиваемости по входу и r_–  x_– /X для оборачиваемости по выходу, получим уравнение, связывающее плотности потоков с оборачиваемостью запаса:

 (_ – )r_ – (_–– )r_– . (3)

Здесь мы считали, что изменение средней плотности обусловлено только ротацией. Если это не так, то можно считать, что в запасе происходит порождение (положительное или отрицательное) массы без изменения объема. В частности, если скорость  этого процесса на единицу объема запаса постоянна, то в правой части (2) появляется дополнительно слагаемое X, а в правой части (3) — слагаемое:

Y′  y_ – y_–  X ; (2a)

 (_ – )r_ – (_–– )r_–   . (3a)

Случай  0 уже рассмотрен. Другое интересное частное значение:  1 — имеет место при описании динамики возраста, стажа, продолжительности пребывания в некотором состоянии и т. п.

Применительно к демографии уравнения (2а) и (3а) описывают, в частности, связь характеристик рождаемости, смертности, старения населения. Пусть X — численность населения,  — средний возраст, Y — «возрастная масса», измеряемая в человеко-годах. Входной поток — поток рождений, выходной — поток смертей, так что r_ и r_– —коэффициенты рождаемости и смертности соответственно; _  0, _– — средний возраст умерших. Так как каждый живущий за год становится старше на год, эндогенный рост возрастной массы идет со скоростью X, так что  1, и уравнение (3a) для возрастной динамики принимает вид

 1 – r_ – (_– – ) r_– . (4)

Имея в виду, что r_ – r_–   — темп прироста численности населения, равенство (4) можно также представить в виде:

 1 – _–r_– – 

Для стабильного населения ( 0):

r_  (_– – )r_–  1

или

–r–    1.

(5)

В качестве иллюстрации рассмотрим стабильное население, средний возраст которого   30 лет, рождаемость r_  0.02 г^–1, смертность r_–  0.008 г^–1, так что темп прироста населения   0.02 – 0.008  0.012 г^–1. Из равенства (5), принимающего конкретный вид 0.008_–  0.012 · 30  1, находим: _–  80 лет.