4. Инвариантные и собственные подпространства.
Чтобы упростить
описание действия оператора
,
выделим в пространстве
те подпространства
,
элементы которых оператор
не выводит за пределы
.
Подпространство
называется инвариантным относительно
,
если для любого элемента
его образ
.
Тривиальными примерами инвариантных
подпространств являются нулевое
подпространство и все пространство
. Возникают следующие вопросы:
– имеет ли
оператор
нетривиальные (отличные от
и от
)
инвариантные подпространства?
– как они
устроены, и как в них действует оператор
?
– можно ли среди них выделить «наиболее простые» нетривиальные инвариантные подпространства?
Прежде чем дать ответы на эти вопросы, сформулируем по-другому предыдущую теорему.
Теорема 8* (другая формулировка). Всякий линейный оператор, действующий в конечномерном комплексном линейном пространстве, имеет одномерное инвариантное подпространство.
Доказательство.
Если
– собственный вектор оператора
,
то
– линейная оболочка вектора
– является одномерным инвариантным
подпространством: из условия
следует
для любого числа
.
Теорема 9. Всякий линейный оператор, действующий в конечномерном действительном линейном пространстве, имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство.
Пусть
– действительное линейное пространство
(
),
,
– базис пространства
,
– матрица оператора
в этом базисе. Характеристический
многочлен
является многочленом с действительными
коэффициентами. Пусть
– корень характеристического многочлена:
.
Если
– действительное число, то оно является
собственным значением оператора
(см. теорему 7). Пусть этому собственному
значению
отвечает собственный вектор
.
Тогда линейная оболочка
образует одномерное подпространство,
инвариантное относительно оператора
.
Пусть теперь
– комплексное число:
,
,
.
Рассмотрим систему
линейных алгебраических уравнений
относительно
.
Поскольку
,
эта система имеет нетривиальное
комплексное решение
,
.
Введем векторные обозначения
,
.
Тогда систему
можно записать в виде
или отдельно для действительной и мнимой
частей искомого вектора
:
(10)
(10) является системой
уравнений относительно
действительных неизвестных с
действительными коэффициентами. Она
имеет нетривиальное решение
,
,
.
Положим
,
.
Элементы
и
действительного линейного пространства
удовлетворяют системе уравнений
(11)
в этом линейном пространстве.
Это означает, что линейная оболочка
является инвариантным подпространством
относительно оператора
.
Докажем, что
,
т.е. элементы
и
линейно независимы. Предположим
противное:
,
,
.
Тогда из первого уравнения (11) имеем
.
А из второго уравнения (11)
.
Следовательно,
,
т.е.
.
Отсюда
,
что противоречит исходному предположению
о том, что
.
Поэтому
,
т.е.
.
Итак, каждый действительный корень характеристического многочлена порождает одномерное инвариантное подпространство, а каждый комплексный корень порождает двумерное инвариантное подпространство, в котором нет собственных векторов.
Сопоставьте результат теоремы 8* и равенство (7). Сопоставьте результат теоремы 9 и равенство (9).
Пусть
– инвариантное подпространство в
относительно оператора
.
Тогда можно отдельно рассмотреть
действие этого оператора только на
элементы
.
Этим будет определен линейный оператор
:
,
который действует по правилу
для всех
.
Оператор
называют оператором, индуцированным
на
,
или сужением оператора
на
.
Если пространство
,
в котором действует оператор
,
комплексно (
),
то и индуцированный оператор является
оператором в комплексном пространстве
.
Поэтому у индуцированного оператора в
имеется собственный вектор. Иными
словами, справедливо
Утверждение. Любой линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, в каждом своем инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
Для оператора, действующего в действительном пространстве, последнее утверждение не имеет места: у такого оператора может не быть действительных собственных значений. Но по теореме 9 у него есть инвариантные подпространства.
Теорема
10. Пусть
– комплексное или действительное
линейное пространство, и
– его нетривиальное подпространство
(
,
),
инвариантное относительно
.
Тогда характеристический многочлен
индуцированного оператора
является делителем характеристического
многочлена оператора
.
Доказательство.
Выберем в
некоторый базис
этого подпространства. Дополним его до
базиса
всего пространства
.
Тогда матрица оператора
в этом базисе имеет клеточный вид
,
поскольку первые
базисных векторов принадлежат
инвариантному относительно
подпространству:
для всех
,
.
Поэтому
,
где буквой
обозначены единичные матрицы указанных
размеров. Отсюда
.
Остается заметить, что
является матрицей оператора
в выбранном базисе.
Следствие.
Пусть
– комплексное или действительное
линейное пространство, и
– его нетривиальные подпространства,
инвариантные относительно оператора
.
Пусть
представляет собой прямую сумму этих
подпространств:
.
Тогда характеристический многочлен
оператора
равен произведению характеристических
многочленов индуцированных операторов
.
Среди всевозможных
инвариантных подпространств оператора
выделим его собственные подпространства.
Пусть
– собственное значение оператора
;
подпространство
называется собственным подпространством
оператора
,
отвечающим
.
Очевидно, что
является инвариантным подпространством.
называется геометрической кратностью
собственного значения
.
Геометрическая кратность
равна числу линейно независимых
собственных векторов оператора
,
отвечающих его собственному значению
.
Теорема 11. Сумма собственных подпространств линейного оператора, отвечающих различным его собственным значениям, является прямой суммой.
Доказательство следует из теоремы 1.
Всякое собственное
значение
линейного оператора является корнем
его характеристического многочлена
некоторой кратности
(см. (7) и (9)). Число
называется алгебраической кратностью
собственного значения
.
Теорема 12. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.
Доказательство.
Пусть
– собственное подпространство оператора
,
отвечающее собственному значению
.
инвариантно относительно
.
Пусть
,
и
– произвольный базис в
.
Этот базис состоит целиком из собственных
векторов оператора
,
поэтому матрица индуцированного
оператора
в этом базисе является скалярной:
.
Следовательно, характеристический
многочлен оператора
равен
.
По теореме 10
является делителем характеристического
многочлена оператора
.
Пусть
является собственным значением оператора
алгебраической кратности
;
это значит, что характеристический
многочлен оператора
содержит множитель
(см. (7) или (9)). Отсюда
.