2. Корни алгебраических многочленов.

Для дальнейшего изучения спектра и собственных векторов линейного оператора нам потребуются некоторые свойства алгебраических многочленов. Из них, в частности, будут видны различия спектральных свойств операторов, действующих в комплексном и в действительном пространствах.

Пусть – переменная, принимающая значения из поля чисел . Пусть – фиксированные числа из , . Функция

(3)

называется алгебраическим многочленом степени . Число , для которого , называется корнем этого многочлена.

Теорема 3. (Основная теорема алгебры.) Всякий алгебраический многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

(Без доказательства. Доказательство можно провести алгебраическим методом [3,4] или методом теории функций комплексной переменной.)

Фиксируем число и положим . Тогда многочлен (3) можно записать в виде

. (4)

После возведения в степени и приведения подобных членов в (4) получаем

. (5)

Из (5) видно, что число является корнем многочлена в том и только в том случае, если . То есть, является корнем в том и только в том случае, если , где – многочлен степени (в этом случае в (5) можно вынести за скобки множитель ). Если – многочлен с комплексными коэффициентами, то и является многочленом с комплексными коэффициентами. По теореме 3, если , то у многочлена имеется комплексный корень . Тогда , где – многочлен степени . И так далее. В конце концов получим

. (6)

Среди корней могут быть одинаковые. Пусть для простоты обозначений корни попарно различны, а каждый из корней равен одному из . Тогда (6) имеет вид

, (7)

где при и . Если , то корень называют простым. Если , то корень называют кратным, а натуральное число – алгебраической кратностью этого корня. Приведенными рассуждениями мы получили

Следствие 1. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. (Теорема Виета.)

, (1*)

, (2*)

, (3*)

, (*)

. (*)

(В правой части каждого равенства (*) записана сумма всевозможных произведений по корней многочлена , взятая со знаком «+», если – четное, и со знаком «-», если – нечетное.)

Доказательство следствия 2 можно получить, если в равенстве (6) раскрыть скобки, привести подобные члены и сравнить результат с коэффициентами многочлена (3).

(Подробное доказательство проведите самостоятельно.)

Теорема 4. Пусть , ,

– многочлен с действительными коэффициентами . Пусть – комплексный (но не действительный: ) корень этого многочлена кратности . Тогда и число является корнем многочлена той же кратности: . (Черта означает комплексное сопряжение.)

Доказательство. По условию теоремы

. (8)

Возьмем комплексное сопряжение от обеих частей равенства (8). Тогда все , поскольку эти коэффициенты действительны, и из (8) получаем

.

Это значит, что является корнем многочлена . Следовательно, многочлен имеет вид , где – многочлен степени . Выражение

является квадратным трехчленом с действительными коэффициентами и . Так как все коэффициенты многочлена действительны, то и у многочлена все коэффициенты действительны.

Докажем, что кратности корней и одинаковы. Пусть, например, , где – кратность корня . Тогда имеет вид , где – многочлен с действительными коэффициентами. По сделанному только что предположению у многочлена должен быть корень кратности , поскольку – корень кратности , и не должно быть корня . Но по доказанному выше для многочлена с действительными коэффициентами это невозможно. Поэтому .

Из доказательства теоремы 4 видно, что многочлен с действительными коэффициентами имеет вид

, (9)

где квадратные трехчлены отвечают парам комплексно сопряженных корней и , , , а корни , , действительны. . Сравните (9) с (7).