6. Ранг матрицы.
Пусть дано любое
число
векторов-строк
и
чисел
из
.
Вектор-строка
называется линейной комбинацией
векторов-строк
.
Определение.
Векторы-строки
называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа
,
не все равные нулю, что
. (7)
Векторы-строки
называются линейно независимыми, если
равенство (7) возможно только при
.
Теорема
8. Векторы-строки
линейно зависимы в том и только в том
случае, если одна из них является
линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
линейно зависимы, т.е. в (7) не все
коэффициенты
равны нулю. Если, например,
,
то равенство (7) можно разделить на
:
.
Это означает, что
является линейной комбинацией остальных
векторов-строк.
Достаточность.
Пусть
является линейной комбинацией остальных
векторов-строк, т.е.
.
Тогда в равенстве
не все коэффициенты равны нулю. Это
означает, что
линейно зависимы.
Ясно, что понятия линейной зависимости и линейной независимости можно ввести и для векторов-столбцов; для них справедлива та же теорема.
Рассмотрим
теперь произвольную прямоугольную
матрицу
.
Выберем
ее строк с номерами
и
столбцов с номерами
(
).
На пересечении этих строк и столбцов
стоит квадратная
-матрица,
определитель которой
называется минором
-го
порядка матрицы
.
У матрицы
имеются миноры порядков
.
Каждой матрице
отвечает число
,
называемое ее рангом.
Определение.
Ранг нулевой матрицы
по определению равен нулю. Если
имеет не только нулевые элементы, то ее
рангом называется наибольший порядок
отличных от нуля миноров. Любой отличный
от нуля минор порядка
называется базисным минором, а строки
и столбцы, на пересечении которых
расположена его матрица, называются
базисными строками и столбцами матрицы
.
Матрица может иметь более одного базисного минора (приведите пример).
Теорема 9. ( Теорема о базисном миноре). Базисные строки матрицы линейно независимы. Любая строка матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк. Базисные столбцы матрицы линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов.
Доказательство.
Для матрицы
введем обозначения ее строк:
,
и обозначения ее столбцов:
.
Пусть минор
является базисным в матрице
.
Это значит, что
и
– наибольший порядок отличных от
нуля миноров (если в
имеются миноры порядков больших
,
то все они равны нулю). Докажем, что
строки
матрицы
линейно независимы. Предположим
противное. Тогда по теореме 8 среди этих
строк найдется строка
,
которая линейно выражается через строки
:
.
Вычтем эту линейную комбинацию
из строки
матрицы
.
Тогда по свойству 7 определителей
величина минора
не изменится. Но мы получили минор с
нулевой строкой, который равен нулю.
Это противоречит предположению о том,
что он является базисным.
Точно так же
доказывается, что столбцы
линейно независимы.
Докажем, что
любая строка 
матрицы
является линейной комбинацией базисных
строк
.
Если
,
то доказывать нечего. Пусть
и
.
Выберем произвольный столбец
(
)
и составим
-матрицу
.
(В левом верхнем углу блочной
матрицы
записана матрица минора
).
Если
,
то
содержит
два одинаковых столбца, поэтому
.
Если
,
то определитель матрицы
является минором матрицы
порядка
;
по предположению
.
Пусть
– алгебраические дополнения элементов
в матрице
;
эти алгебраические дополнения не
зависят от
.
Пусть
– алгебраическое дополнение элемента
в матрице
;
и
не
зависит от
( и от
).
Разложим
по последнему столбцу:
.
Отсюда
.
Последнее равенство справедливо
для всех
(
),
и в нем коэффициенты
не
зависят от
.
Поэтому вся строка
является линейной комбинацией строк
с
теми же коэффициентами.
Точно так же
доказывается, что любой столбец
является линейной комбинацией базисных
столбцов
.
Следствие из теоремы 9. Наибольшее число линейно независимых строк любой прямоугольной матрицы равно наибольшему числу ее линейно независимых столбцов.
Это число и есть ранг матрицы.
Задача.
Дано
векторов-строк
из
.
Найти среди них наибольшее число линейно
независимых векторов-строк.
Решение.
Составим матрицу
и
найдем ее ранг. Для этого придется
отыскать какой-нибудь базисный минор
(тогда мы и получим
).
Векторы-строки
образуют наибольшую линейно
независимую подсистему среди всех
.
Могут быть и другие линейно независимые
подсистемы векторов-строк, состоящие
из того же числа
элементов. Если
,
то среди
не
может быть более
линейно независимых векторов-строк.
Теорема 10. Квадратная матрица не вырождена в том и только в том случае, если система всех ее строк линейно независима. Квадратная матрица не вырождена в том и только в том случае, если система всех ее столбцов линейно независима.
( Докажите самостоятельно.)
Теорема
11. Если
,
то
и
.
Если при этом
– квадратная невырожденная матрица,
то
,
а если
– квадратная невырожденная матрица,
то
.
( Докажите самостоятельно.)