4. Следствия из теоремы Лапласа.

Теорема 5. Сумма всех произведений элементов какой-либо строки ( какого-либо столбца) квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки ( любого другого столбца) равна нулю.

Доказательство. Разложим по -ой строке (см. теорему 1). Алгебраические дополнения элементов не зависят от элементов -ой строки. Поэтому указанное разложение является тождеством относительно : если в матрице изменить -ую строку, то для новой матрицы в разложении ее определителя по -ой строке получим те же . Заменим -ую строку матрицы на любую -ую строку этой же матрицы (). Тогда в новой матрице -ая и -ая строки одинаковы, и, следовательно, ее определитель равен нулю. Итак,

, если .¨

Теорема 6. Если , то.

Доказательство. Пусть сначала – произвольные-матрицы, а – нулевая матрица. Составим из них как из блоков -матрицу (она называется блочной или клеточной) и найдем ее определитель. Разложим по теореме Лапласа по первым строкам. В этом разложении только ; матрицы всех остальных миноров содержат нулевой столбец. Заметим еще, что . Поэтому .

Совершенно аналогично можно найти определитель матрицы , раскладывая его по теореме Лапласа по последним строкам. В этом разложении только . Заметим, что

(сумма членов арифметической прогрессии); следовательно, . Поэтому .

Теперь найдем определители и двух блочных -матриц и сравним их ( здесь – единичная -матрица;).

Докажем, что . Первые столбцов двух блочных матриц совпадают. По условию теоремы , т.е. все . Поэтому каждый столбец с номером () матрицы получается в результате прибавления к столбцу матрицы с тем же номером линейной комбинации ее первых столбцов с коэффициентами . По свойству 7 определители двух блочных матриц совпадают. ¨

Следствие из теоремы 6. Если , где , то .

Доказательство. Припишем к матрице справа нулевых столбцов, а к матрице снизу нулевых строк. Тогда получим две -матрицы и с равными нулю определителями. Очевидно, . Поэтому .¨

5. Обратная матрица.

Если – единичная матрица, то матрицу естественно назвать правой обратной матрицей для матрицы . Если , то естественно назвать левой обратной матрицей для . В данном разделе будем дальше рассматривать только квадратные матрицы (). Для заданной -матрицы возникают вопросы о существовании правой и левой обратных матриц и и об их равенстве.

Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если она одновременно является и правой, и левой обратной для .¨

Предположим, что для матрицы существует обратная матрица; обозначим ее через . Могут ли существовать другие правые или левые обратные для матрицы?

Утверждение. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственна.

Доказательство. Пусть . Тогда и . Поэтому .

Пусть . Тогда и . Поэтому .¨

Eсли , то матрицу называют вырожденной, а если , то невырожденной. Очевидно, что вырожденная матрица не имеет обратной: иначе из равенств по теореме 6 вытекало бы , что невозможно, поскольку . Всякая ли невырожденная матрица имеет обратную? Мы сейчас получим положительный ответ на этот вопрос, построив для невырожденной матрицы матрицу в явном виде.

Обозначим через алгебраическое дополнение элемента -матрицы : . Составим матрицу

и транспонируем ее. Полученную матрицу обозначают и называют матрицей, присоединенной к матрице :

.

Найдем произведение . По теореме 5 произведение -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы равно нулю, если . А произведение -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы по теореме 1 равно . Поэтому

. (4)

Совершенно аналогично, пользуясь теоремами 5 и 3, найдем

. (5)

Теорема 7. Квадратная матрица имеет обратную в том и только в том случае, если она не вырождена. Для невырожденной матрицы обратная матрица имеет вид

. (6)

Доказательство.

Необходимость уже была доказана выше: если существует , то из следует , т.е..

Достаточность. Если , то равенства (4) и (5) можно разделить на . Тогда матрица оказывается одновременно правой и левой обратной для . Как было доказано выше, других обратных матриц у матрицы нет. ¨

Замечание. Из (4) и (5) видно, что

.

Если , то .

Свойство 1. .

Свойство 2. Если и не вырождены, то и их произведение не вырождено, и .

Доказательство. , если и . , а это и означает, что .¨

Свойство 3. .

Доказательство. Матрица, обратная к , единственна. Очевидно, что такой матрицей является : .¨

Свойство 4. .

Доказательство. Транспонируем обе части равенства . Тогда получим . Это и означает, что .¨

Задача. Сколько арифметических операций надо выполнить для построения, если действовать по (6)?