2. Определители.
Каждой квадратной
-матрице
отвечает число, которое называется ее
определителем (детерминантом). Его
обозначают
или коротко
.
n=1.
.
По определению
.
n=2.
.
По определению
.
Очевидны следующие свойства определителя
-матрицы
:
1.
,
т.е.
.
2.
,
т.е. при перестановке строк
-матрицы
ее определитель меняет знак. То же самое
происходит и при перестановке столбцов.
3.
.
То же верно и в случае умножения второй
строки на число
,
и в случае умножения одного из столбцов
на
.
4.
.
То же верно, если нулевой окажется вторая
строка или нулевым окажется один из
столбцов.
5. Если
и
,
то
.
То же верно и в случае двух равных строк.
n=3. По определению
Видно, что
является алгебраической суммой
членов.
(
.
В нашем случае
.)
Членами определителя являются всевозможные
произведения по
элементов матрицы, взятых по одному в
каждой строке и в каждом столбце. Для
запоминания знака, с которым берется
каждое из этих произведений, полезно
пользоваться либо таблицей
,
либо таблицами
.
Заметим еще, что в каждом члене алгебраической суммы элементы матрицы перемножаются в порядке возрастания первого индекса. При таком порядке сомножителей выпишем номера столбцов, из которых взяты элементы матрицы:
(1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) – для членов со знаком «+»;
(3,2,1), (1,3,2), (2,1,3) – для членов со знаком «-».
Мы перечислили всевозможные
перестановки чисел 1,2,3. Перестановка
(1,2,3) называется основной. Если в некоторой
перестановке поменять местами два
числа, то получим новую перестановку;
говорят, что она построена из предыдущей
транспозицией этих двух чисел.
Перестановка (
)
называется четной (нечетной), если она
получена из основной перестановки
(1,2,3) при помощи четного (нечетного) числа
транспозиций. Перестановки (1,2,3), (2,3,1),
(3,1,2) четные, а перестановки (3,2,1), (1,3,2),
(2,1,3) нечетные. Итак, член определителя
берется со знаком «+», если индексы
столбцов его элементов
образуют
четную перестановку, и со знаком «-»,
если индексы столбцов образуют нечетную
перестановку (при условии, что
перемножаются в порядке возрастания
номеров строк!).
,
где суммирование ведется
по всем перестановкам чисел 1, 2, 3.
Можно заметить еще следующее:
.
Это равенство называется разложением определителя по первой строке. Аналогичным образом можно разложить определитель по второй или по третьей строке, либо по каждому из его столбцов.
n –
произвольное. Сначала изучим свойства
множества всех перестановок чисел
1,2,
.
Совокупность
чисел (
),
среди которых нет равных и каждое из
которых есть одно из чисел 1,2,
,
называется перестановкой чисел
1,2,
.
Перестановка (1,2,
)
называется основной.
Замечание.
Можно фиксировать произвольные
натуральные числа
и строить перестановки этих чисел. Тогда
основной перестановкой считается (
).
Утверждение
1. Имеется
всевозможных различных перестановок.
Доказательство
проведем методом математической индукции
по
.
В случае
утверждение очевидно. Предположим, что
оно верно для некоторого числа
,
и докажем, что из этого предположения
следует справедливость утверждения
для числа
.
Для этого все перестановки чисел 1,2,
разобьем на
классов: к одному классу отнесем все
перестановки, у которых
одинаково. Найдем число элементов в
одном таком классе. Поскольку у каждой
перестановки из данного класса
фиксировано, то остается перечислить
все перестановки
чисел 1,2,
.
По предположению их всего
.
А рассматриваемых классов всего
.
Тем самым, если утверждение верно для
,
то оно верно и для
.
По индукции утверждение доказано.
Говорят, что в
перестановке (
)
числа
и
образуют инверсию, если
,
но
.
Перестановка называется четной, если
число всех инверсий в ней четно, и
нечетной, если это число нечетно.
Утверждение 2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство.
Если поменять местами два рядом стоящих
числа, то их расположение относительно
других чисел в перестановке не изменится,
а перемена мест этих двух чисел меняет
число инверсий на 1. Пусть теперь меняются
местами числа
и
,
между которыми содержится
других чисел:
.
Будем менять местами число
последовательно со стоящими справа от
числами
.
Затем число
,
стоящее теперь слева от
,
переместим влево при помощи
последовательных транспозиций
и стоящих рядом с ним чисел. В результате
мы построим
при помощи
транспозиций рядом стоящих чисел.
Это изменит четность перестановки.
Утверждение 3. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок.
Доказательство.
Пусть
– число всех четных перестановок, а
– число всех нечетных перестановок
(
).
Сделаем во всех четных перестановках
одну и ту же транспозицию. Тогда получим
попарно различных нечетных перестановок.
Поэтому
.
Теперь сделаем во всех нечетных
перестановках одну и ту же транспозицию.
Тогда получим
попарно различных четных перестановок.
Поэтому
.
Следовательно,
.
Определение.
Определителем
-матрицы
называется
алгебраическая сумма
членов, составленная следующим образом.
Членами определителя являются всевозможные
произведения по
элементов матрицы, взятых по одному
в каждой строке и в каждом столбце. Член
суммы берется со знаком «+», если индексы
столбцов сомножителей
образуют четную перестановку, и со
знаком «-», если индексы столбцов образуют
нечетную перестановку (при условии,
что
перемножаются в порядке возрастания
номеров строк).
,
где суммирование ведется по
всем
перестановкам, а
есть число инверсий в перестановке
.
Задача.
Сколько арифметических операций надо
выполнить для вычисления
,
если действовать по определению?