Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления. Применение производной для исследования функций.
2Функция y=f(x) имеет в точке х0 максимум, если
,
*
,
,
2Условием
выпуклости кривой y=f(x) в интервале
(
,
b) является
*
2Условием
вогнутости кривой y=f(x) в интервале (
,
b) является
*
2Функция
в
точке
имеет минимум, если
,
,
,
*
,
2Функция
имеет в точке
максимум, если для всех x
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
*
2Функция
имеет в точке
минимум, если для всех x
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
*
2Если
функция y=f(x)
во внутренней точке
области определения дифференцируема
и достигает в точке
наибольшего и наименьшего значения, то
производная функции в этой точке
не существует
*
2Критическими точками функции f(x) на экстремум, называются точки, в которых для функции f(x) выполняется условие
*
2Если на отрезке
для функции f(x)
выполняются все условия теоремы Ролля,
то на дуге AB найдется
точка, в которой касательная к графику
проходит через начало координат
параллельна оси ординат
перпендикулярна оси абсцисс
* параллельна оси абсцисс
2Из теоремы Лангранжа следует, что в интервале (a;b) найдется точка c такая, что
*
2К функциям f(x) и g(x) теорема Коши применима, если
f(x) и g(x) непрерывны на (a;b) и дифференцируемы на (a;b)
f(x)
и g(x)
непрерывны на
и
в интервале (a;b)
* f(x)
и g(x)
непрерывны на
,
дифференцируемы на (a;b)
и
в интервале (a;b)
f(x)
и g(x)
непрерывны на (a;b),
дифференцируемы на (a;b)
и
в интервале (a;b)
2Если функции f(x)
и g(x)
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на (a;b)
и
в интервале (a;b),
то, согласно теореме Коши, в интервале
(a;b)
найдется точка с такая, что
*
2Правило Лопиталя применяется к неопределенностям вида
*
2Правило Лопиталя применяется к неопределенностям вида
*
2Пусть функции
f(x)
и g(x)
непрерывны в
,дифференцируемы
в
,
причем
,
и
;
существует конечный или бесконечный
предел
,
то
*
2Пусть
функции f(x)
и g(x)
непрерывны в
,дифференцируемы
в
,
причем
,
и
;
существует конечный или бесконечный
предел
,
то
*
2Применима ли
теорема Ролля к функции
на отрезке[1;2]
нет, y=f(x) разрывна на отрезке [1;2]
да, с=1
нет, y=f(x) не дифференцируема в интервале (1;2)
-
нет,
-
2Применима ли теорема Лагранжа к функции
на отрезке [0;2]
нет, функция f(x) разрывна на [0;2]
*да,
нет, функция f(x) недифференцируема в (0;2)
нет,
2Применима ли
теорема Коши к функциям
и
на отрезке [0;2]
да,
нет,
*нет, функция g(x)
не определена при
нет, функция f(x) недифференцируема на (0;2)
2Пусть функция
y=f(x)
дифференцируема в интервале (a;b)
, то для того, чтобы f(x)
была возрастающей в (a;b)
необходимо и достаточно, чтобы для всех
выполнялось
*
2Пусть функция
y=f(x)
дифференцируема в интервале (a;b)
, то для того, чтобы f(x)
была убывающей в (a;b)
необходимо и достаточно, чтобы для всех
выполнялось
*
2Дана функция
,
тогда
х=0 является точкой минимума функции f(x)
*
является точкой минимума функции f(x)
функции f(x) не имеет экстремумов
является точкой
максимума функции f(x)
2Функция
возрастает на
возрастает на (-2:2)
* возрастает на
возрастает на [-1;2]
2Функция
*убывает на (-2:2)
убывает на
убывает на [-;2)
убывает на
2Функция
выпукла на интервале
вогнута на интервале
*выпукла на интервале
вогнута на интервале (3;5)
2Пусть функция
y=f(x)
непрерывна в (a;b),
-
внутренняя точка этого промежутка и
(или
не существует), то
-обязательно
точка минимума
-
обязательно точка максимума
-
обязательно точка перегиба
* в точке
экстремум может существовать, а может
и не существовать
2К функции y=f(x)
на отрезке
теорема Ролля применима, если
* f(x)
непрерывна на
,
дифференцируема в (a;b)
и f(a)=f(b)
f(x)
непрерывна на
и
f(a)=f(b)
f(x) дифференцируема в (a;b)
f(x) непрерывна в (a;b), дифференцируема в (a;b) и f(a)=f(b)
2Изтеоремы Лагранжа следует, что
любая касательная
к графику функции f(x)
в (a;b)
параллельна хорде, стягивающей концы
дуги f(x)
на отрезке
касательная к графику функции f(x) в (a;b) параллельна любой хорде в этом интервале
хорда, стягивающая
конца дуги f(x)
на
,
параллельна оси OY
*в интервале (a;b)
найдется касательная, параллельная
хорде, стягивающей концы дуги f(x)
на отрезке
2Точка
называется точкой перегиба графика
f(x)
с вертикальной касательной, если
*
и
2Точка
называется точкой перегиба графика
f(x)
с наклонной касательной, если
и
*
2Точка
называется точкой перегиба графика
f(x)
с горизонтальной касательной, если
*
и
2Применима ли
теорема Ролля к функции
на отрезке [0;2]
да, с=2
нет, функция f(x)
не определена при
нет, функция f(x) не дифференцируема в (0;2)
*нет,
2Применима ли
теорема Лагранжа к функции
на отрезке
[-1;0]
нет, функция f(x) разрывна на [-1;0]
*да,
нет, функция f(x) не дифференцируема в (-1;0)
нет,
2Точками перегиба
функции
являются
точки
и
только точка х=0
*точки
и
у функции
нет точек перегиба
2Применима ли
теорема Коши к функциям
и
на отрезке [0;3]
*нет, функция g(x)
не дифференцируема в (0;3) и
в (0;3)
да, с=3
нет, функция g(x) разрывна на [0;3]
нет, f(x) не дифференцируема в (0;3)