1.3. Квадратичные сплайны.

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка , в узлах которой определены значения функции f(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. На каждом отрезке сплайн является многочленом второй степени:

(22)

2. В узлах сплайн принимает заданные значения , т.е.

(23)

3. Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую производную, т.е. в местах сопряжения квадратичных многочленов их первые производные должны быть равны:

(24)

Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов , i=1,…n, т.е. 3n неизвестных, которые удовлетворяют (3n-1) уравнениям. Чтобы система имела решение, добавляют еще одно дополнительное условие, например:

(25)

Из условий (23), (24) и (25) составляется система, решение которой дает искомые коэффициенты.

Пример.

Исходные данные:

i	0	1	2	3
	1	2	2.5	3

По заданным точкам требуется построить квадратичный сплайн. Найдем первую производную многочлена (22):

Система уравнений (23), (24) имеет вид:

(25)

После подстановки исходных данных в (25):

Отсюда:

Полученные сплайн-функции:

1.4. Задание на практику.

Для заданной функции:

1. Рассчитать значения функции в узловых точках (x_i).

2. Для краевых условий 1-3 построить кубические сплайны в специальной форме, найдя соответствующие коэффициенты d_i:

1. S₁^''(x₀)=0, S₃^''(x₃)=0

2. S₁^'(x₀)=f '(x₀), S₃^'(x₃)=f '(x₃)

3. S₁^''(x₀)=f ^''(x₀), S₃^''(x₀)=f ^''(x₃)

4. Рассчитать значения сплайн-функции в серединах отрезков интерполяции.

5. Построить графики исходной функции и сплайна.

6. Построить квадратичный сплайн, используя дополнительное условие S₁^'(x₀)=f'(x₀), проверить равенство первых производных во внутренних узлах.

1.5. Варианты заданий.

№	Функция	Узловые точки
1		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1.5		2
2		i			0		1		2		3
		xi			1		1.5		2		2.5
3		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1		2
4		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1		1.5
5		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1.5		1.75
6		i			0		1		2		3
		xi			1		1.25		1.5		2
7		i			0		1		2		3
		xi			1		2		3		4
8		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		0.75		1
9		i			0		1		2		3
		xi			0		0.25		0.5		1
10		i			0		1		2		3
		xi			0.5		1		1.5		2
11		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1.5		2
12		i			0		1		2		3
		xi			1		1.5		2		3
13		i			0		1		2		3
		xi			1		2		3		4
14		i			0		1		2		3
		xi			1		2		3		4
15		i			0		1		2		3
		xi			0		0.5		1.5		1.75
16			i	0		1		2		3
			xi	0		0.5		1		1.5
17			i	0		1		2		3
			xi	0.75		1		1.25		1.5
18			i	0		1		2		3
			xi	0		1		2		3
19			i	0		1		2		3
			xi	0		0.5		1.5		2
20			i	0		1		2		3
			xi	0		0.5		1.5		2
21			i	0		1		2		3
			xi	0		1		2		4
22			i	0		1		2		3
			xi	1		1.5		2		2.5
23			i	0		1		2		3
			xi	0		0.25		0.5		1
24			i	0		1		2		3
			xi	0.75		1.25		1.5		1.75
25			i	0		1		2		3
			xi	0		0.5		1		1.5
26			i	0		1		2		3
			xi	0		1		2		3
27			i	0		1		2		3
			xi	1		2		2.5		3
28			i	0		1		2		3
			xi	3		4		4.5		5
29			i	0		1		2		3
			xi	0		0.5		1		1.5
30			i	0		1		2		3
			xi	1		2		2.5		3