Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Уральский государственный технический университет-УПИ
имени первого Президента России Б.Н.Ельцина"
Кафедра автоматики и информационных технологий
Интерполяция сплайнами
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
2008 |
Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Вычислительная математика»
Указания предназначены для студентов всех форм обучения направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника».
© ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2008
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ 3
1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ. 4
1.1. Кубические сплайны. 4
1.2. Специальная форма записи сплайна. 5
1.3. Квадратичные сплайны. 13
1.4. Задание на практику. 18
1.5. Варианты заданий. 19
Список литературы 21
1. Интерполяция сплайнами.
В случаях, когда промежуток [a,b], на котором требуется заменить функцию f(x) велик, можно применить интерполяцию сплайнами.
1.1. Кубические сплайны.
Интерполяционные сплайны 3-го порядка - это функции, состоящие из кусков многочленов 3-го порядка. В узлах сопряжения обеспечивается непрерывность функции, ее первой и второй производных. Аппроксимирующая функция составляется из отдельных многочленов, как правило, одинаково небольшой степени, определенных каждый на своей части отрезка [a,b].
Пусть на отрезке [a,b] вещественной оси x задана сетка , в узлах которой определены значения функции f(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям:
-
На каждом отрезке сплайн является многочленом третьей степени:
|
(1) |
-
В узлах сплайн принимает заданные значения , т.е.
|
(2) |
-
Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую и вторую производные, т.е. в узлах сопряжения сплайнов их первые и вторые производные должны быть равны:
|
(3) |
Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов , i=1,…n, т.е. 4n неизвестных коэффициента, которые удовлетворяют 4n-2 уравнениям (1), (2), (3). Чтобы система уравнений имела решение, добавляют еще два дополнительных (краевых) условия. Используется три типа краевых условий:
I)
|
(4) |
Сплайн, определяемый (4) называется естественным кубическим сплайном.
II)
|
(5) |
III)
|
(6) |
Условия (1), (2), (3) и одно из условий (4), (5), (6) образуют СЛАУ порядка 4n. Решение системы можно провести с помощью метода Гаусса. Однако, выбрав специальную форму записи кубического многочлена, можно существенно снизить порядок решаемой системы уравнений.