Задание n 17 Тема: Линейные операции над матрицами

1

Даны матрицы и Если то след матрицы равен …

11

Решение: При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Матрица находится следующим образом: След матрицы равен сумме элементов главной диагонали:

2

Матрицы и имеют одинаковую размерность. Если – единичная матрица того же размера, что и матрицы и , и матрица , то верно равенство …

Решение: Если выразить матрицу , то получим равенство:

Задание n 18 Тема: Системы линейных уравнений

1

Решение системы может иметь вид …

Решение: По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: . Следовательно, система может быть записана в виде уравнения: , где – свободная переменная, а – базисная. Общее решение будет иметь вид: . Значит решением данной системы может быть (2С; С).

2

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если не равно … 10

Решение: Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю. Вычислим Тогда

Задание n 19 Тема: Области на комплексной плоскости

1

Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми . Угол наклона прямой к оси равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми . Угол наклона прямой к оси равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

2

Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:

удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, представляет собой круг с центром в точке и радиусом . Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид: . Следовательно, все точки, принадлежащие множеству , удовлетворяют неравенству , или . Модуль комплексного числа равен . Следовательно, точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , удовлетворяют условию .

Задание n 20 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного

1

Если , то равно …

Решение: Производная функции равна . Тогда .

…

2

Если , то равно …

Решение: Производная функции равна . Тогда .

Разность комплексных чисел и равна …

3

Если , то равно …

Решение: Производная функции равна . Тогда .

Задание n 21 Тема: Формы записи комплексного числа

1

Комплексное число задано в тригонометрической форме . Тогда его алгебраическая форма записи имеет вид …

Решение: Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: , а алгебраическая – . Тогда для нахождения параметров и , получим систему: . В нашем случае она примет вид: . Следовательно, .

2

Модуль комплексного числа равен …

2

Решение: Если комплексное число записано в форме , то . В нашем случае и . Тогда

3

Главное значение аргумента комплексного числа равно …

Решение: Если комплексное число записано в форме , то аргумент определяется из системы уравнений: . В нашем случае и . Тогда и главное значение аргумента равно .