Задание n 4 Тема: Числовые последовательности

1

Числовая последовательность задана рекуррентным соотношением , . Тогда равно …

Решение: Вычислим последовательно: , , .

2

Числовая последовательность задана формулой общего члена . Тогда значение равно …

Решение: Подставим в формулу общего члена значение . Тогда .

3

Предел числовой последовательности равен …

Решение: Так как , то

Задание n 5 Тема: Определение вероятности

1

В партии из 10 деталей имеется 3 бракованные. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что все отобранные детали будут бракованными, равна …

Решение: Для вычисления события (все отобранные детали будут бракованными) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 10 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из трех имеющихся, то есть . Следовательно,

2

Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна …

Решение: Для вычисления события (на верхней грани выпадет нечетное число очков) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , или , то есть . Следовательно, .

3

После бури на участке между 50-ым и 70-ым километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Тогда вероятность того, что авария произошла между 60-ым и 63-им километрами, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события применим геометрическое определение вероятности и воспользуемся формулой , где , а . Тогда

Задание n 6 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

1

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение: По определению . Тогда а) при , , б) при , , в) при , , г) при , . Следовательно,

2

Вероятность появления события в каждом из 10 независимых испытаний равна . Тогда вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит 6 раз можно вычислить как …

Решение: Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , событие наступит ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли:. Так как , , , , то .

Задание n 7 Тема: Числовые характеристики случайных величин

1

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

1,5

Решение: Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле То есть

2

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

Решение: Воспользуемся формулой . Тогда

3

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …

Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому