Математическое моделирование движения иглы в замке вязального механизма на эвм

Математическая модель (5) движения иглы в замке вязального механизма представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Для решения математической модели (5), с учетом (1), (6), (7) и (8) воспользуемся численным методом Рунге-Кутта ΙV, предварительно воспользовавшись заменой

, ,

приведем (5) к каноническому виду

, (16)

при t=0 .

Для решения математической модели на ЭВМ воспользуемся системой инженерных и научных расчетов MATLAB [4] и входящей в нее функцией ode45( ), предназначенной для решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого и пятого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования. Обращение к функции ode45( ) в программе на языке программирования системы MATLAB имеет вид

[t,Y]=ode45(@fundydt,[t0,tk],y0);

где выходные параметры:

@fundydt – имя функции, в которой вычисляются правые части системы дифференциальных уравнений, записанных в каноническом виде;

[t0,tk] – интервал времени, на котором производится инегрирование системы дифференциальных уравнений;

y0 – вектор начальных условий;

выходные параметры:

t – вектор-строка, содержащая моменты времени, соответствующие решению Y;

Y – выходной массив, каждая строка которого соответствует решению дифференциальных уравнений в моменты времени t.

Данная программа состоит из головного модуля и трех подпрограмм – функций ksi( ), sila( ), sysdif( ).

Блок-схема работы данной программы представлена на рисунке 7. В головном модуле происходит ввод исходных данных, решение дифференциального уравнения математической модели, расчет значений и построение графиков зависимостей .

Подпрограмма ksi( ) вычисляет зависимости и их первой и второй передаточных функций соответственно на участках Ι, ΙΙ, ΙΙΙ по зависимостям, определенным в результате синтеза профиля клиньев замка. Длины l₁, l₂, l₃ соответствующих участков вычисляются в головном модуле после задания исходных данных.

Подпрограмма sila( ) вычисляет значения сил F, F_тр и Р в функции времени t и обобщенных координат .

Подпрограмма sysdif( ) вычисляет правые части системы дифференциальных уравнений (16).

Описание графиков

По результатам работы программы, представленной в «Приложении Д», были представлены графики положения, сил и деформаций иглы в замке вязального механизма.

На рисунке 8 представлены графики функции положения, первой и второй передаточной функций. Данные графики описывают зависимость перемещения, скорости и ускорения от длины участка.

Первый график представляет собой функцию положения . Единицы измерения на данном графике для длины L и перемещения ξ – м. Движение начинается из точки z₃=0,014 м и заканчивается в нулевом положении. На Ι участке закон движения – косинусоида, на ΙΙ – прямая, на ΙΙΙ – синусоида. Стыки между Ι и ΙΙ, ΙΙ и ΙΙΙ участками плавные, скачков нет.

Второй график – это первая передаточная функция или скорость. На данном графике единицы измерения скорости – м/с, длины – м. Движение начинается из точки со значением 0. Ι участок – синусоида с отрицательным знаком. Скорость изменяется на первом участке от 0 до –0,7 м/с. Так как скорость отрицательная, то движение на Ι участке равнозамедленное. На ΙΙ участке закон движения представляет прямую, скорость постоянная. ΙΙΙ участок – косинусоида. На данном участке движение ускоренное и изменяется от –0,7 до 0 м/с. Стыки между Ι и ΙΙ, ΙΙ и ΙΙΙ участками плавные, скачков нет.

Третий график – вторая передаточная функция или ускорение. Ускорение начинается из точки со значением –100 м/с², это свидетельствует о том, что скорость уменьшается в положительном направлении, движение замедленное. На участке Ι представлена косинусоида с отрицательным знаком. ΙΙ участок – прямая, на нем ускорение постоянно и равно 0 м/с²,на этом участке скорость постоянна. На участке ΙΙΙ – синусоида с максимальным ускорением 190 м/с². Стык между Ι и ΙΙ, ΙΙ и ΙΙΙ участками в виде излома. Это свидетельствует о мягком ударе.

Рисунок 8 – графики функции положения, первой и второй передаточной функций

На рисунке 9 изображены графики затухающих гармонических колебаний, представляющих собой деформацию Δ, ее скорость Δ′ и ускорение Δ′′.

На первом графике деформация начинается из точки 0 м, доходит до максимума в точке 3,4*10^-4 м, затем переходит в затухающие гармонические колебания.

На втором графике представлена скорость деформации. Из начального положения, равного 0 м, скорость деформации изменяется линейно, доходя до максимума в точке 0,21 м/с. После этого скорость изменяется в виде затухающих гармонических колебаний.

Ускорение деформации на третьем графике изначально колеблется между максимальным и минимальным значениями, которые равны 510 м/с² и 490 м/с². Это происходит за время, равное 0,0027 с, и соответствует движению в зазоре или виброудару. После этого начинаются затухающие колебания, с небольшим изломом вначале, который описывает мягкий удар.

Рисунок 9 – графики деформации

На рисунке 10 представлены графики силы трения F_тр, силы полезного сопротивления P, и силы, действующей со стороны упругого элемента F. Все силы имеют размерность Н.

На первом графике сила трения колеблется от –0,21 Н до 0,21 Н. Это свидетельствует о том, что в данном месте зона зазора. Со времени t=0,0027 с сила трения постоянна и равна –0,21 Н, скорость убывает в данном случае.

Сила полезного сопротивления, представленная на втором графике, попадает в зазор и колеблется там от –0,1 Н до 0,1 Н. При значении времени t=0,0023 с сила сопротивления становится постоянной и равной –0,1 Н.

На третьем графике сила со стороны демпфера попадает в зазор и равна 0 Н. Затем, при t=0,0027 с сила принимает минимальное значение, равное -0,9 Н, и начинает действовать по гармоническому закону затухающих колебаний.

Рисунок 10 – графики сил

При уменьшении жесткости в 2 раза происходят изменения в графиках деформации, представленных на рисунке 11, и графиках сил, изображенных на рисунке 12.

Рисунок 11 – графики деформации при уменьшенной жесткости

Рисунок 12 – графики сил при уменьшенной жесткости