3.1. Линейные образы
3.1.1. Прямая на плоскости
Виды уравнений
|
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
|
общее уравнение прямой на плоскости |
n=(A,B) - нормальный вектор прямой;
k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) - направляющий вектор прямой |
|
|
|
уравнение прямой, проходящей через данную точку |
|
|
|
уравнение прямой с данным угловым коэффициентом |
|
|
|
уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом |
|
|
|
уравнение прямой, проходящей через две точки |
|
|
|
уравнение прямой в отрезках |
|
|
|
каноническое уравнение прямой |
,
,
- координаты фиксированных точек на
прямой;
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:
;
,
где
и
-нормальный
и направляющий векторы первой прямой;
и
-
нормальный и направляющий векторы
второй прямой.
Условия параллельности двух прямых на плоскости:
-
;
-
;
-
,
где
и
-
угловые коэффициенты прямых.
Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:
-
n1
n2
n1
n2=0
или
A1A2+B1B2=0;
-
q1
q2
q1
q2=0
или l1l2+m1m2=0; -
3.1.2. Плоскость в пространстве
Виды уравнений
|
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
|
общее уравнение плоскости в пространстве |
a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;
p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость |
|
|
|
уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
|
|
уравнение плоскости в отрезках |
|
|
|
нормальное уравнение плоскости |
-
нормальный вектор плоскости;
-
координаты фиксированных точек на
плоскости;
-
направляющие косинусы нормального
вектора плоскости;
Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:
.
Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:
;
где
и
-нормальные
векторы плоскостей.
Условие параллельности двух плоскостей:
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
n1
n2
n1
n2=0
или A1A2+B1B2+С1С2=0.
3.1.3. Прямая в пространстве
Виды уравнений
|
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
|
общие уравнения прямой в пространстве |
|
|
|
|
канонические уравнения прямой в пространстве |
|
|
|
параметрические уравнения прямой в пространстве |
|
|
|
уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки |
и
-
нормальные векторы плоскостей;
-
направляющий вектор прямой;
,
,
-
координаты фиксированных точек на
прямой
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:
,
где
и
-
направляющие векторы прямых.
Условие параллельности двух прямых в пространстве:
.
Условие ортогональности двух прямых в пространстве:
q1
q2
q1
q2=0
или l1l2+m1m2+n1n2=0.
|
Тема 3. Аналитическая геометрия |
|