2.3. Основные теоретические положения

Способы преобразования проекций. Решение многих задач упрощается, если объекты проецирования занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Чтобы привести геометрический объект из общего положения в частное, применяют способы преобразования проекций.

Способ вращения. Выбрав ось вращения, объекты проецирования (точку, прямую и плоскость) можно повернуть до требуемого частного положения (параллельного или перпендикулярного плоскости проекций). При этом все точки вращаемых объектов перемещаются в параллельных плоскостях по окружностям. Вращение любой точки осуществляется в следующей последовательности:

1) выбирают ось вращения и проводят плоскость, в которой вращается точка. Плоскость вращения всегда должна быть перпендикулярной оси вращения;

2) определяют центр и радиус (его натуральную величину) вращения;

3) производят необходимый поворот.

Пример 9. Повернуть точку А вокруг горизонтально-проецирующей оси i против хода часовой стрелки на угол (рис. 17, а).

Решение. Точка А (А', А'') вращается вокруг оси i в горизонтальной плоскости Р () (рис. 17, б, в). Проводим из точки А (А', А'') перпендикуляр АО (А'О', А''О'') к оси вращения. Поскольку АО (А'О', А''О'') является отрезком горизонтальной прямой, то на горизонтальную плоскость проекций он спроецируется в натуральную величину. Радиусом А'О' поворачиваем точку А (А', А'') на заданный угол .

Пример 10. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 18, а).

Решение. Для того чтобы определить натуральную величину отрезка, его необходимо привести в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, например, фронтальной (рис. 18, б). Проводим через точку В (В', В'') горизонтально-проецирующую ось вращения i (i', i''). Тогда точка В (В', В'') отрезка будет неподвижной, а точка А (А', А'') вращается в горизонтальной плоскости Р () до тех пор, пока отрезок АВ (А'В', А''В'') не окажется в положении, параллельном фронтальной плоскости проекций. В этом положении его горизонтальная проекция должна быть параллельна оси проекций (В' ║x). Далее строим проекцию точки А в повернутом положении, и, соединяя ее с В'' , получаем натуральную величину отрезка АВ.

а)	б)

в)

Рис. 17

а)	б)

в)

Рис. 18

Аналогично можно построить натуральную величину отрезка АВ, приведя его в горизонтальное положение, вращением вокруг фронтально-проецирующей прямой (рис. 18, в).

Пример 11. Вращением вокруг линии уровня определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 19, а).

Решение. Для построения натуральной величины треугольника необходимо повернуть его плоскость до положения, параллельного одной из плоскостей проекций. На рис. 19, б показано вращение плоскости треугольника ABC вокруг его горизонтали h до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций.

а)	б)

Рис. 19

Решение выполняется в следующей последовательности. В плоскости треугольника ABC проводим горизонталь h (, ). Затем строим следы и горизонтально-проецирующих плоскостей и , в которых вращаются точки A и C соответственно, перпендикулярно горизонтали h ( и ). Точка В неподвижна, так как лежит на оси вращения (горизонтали h). Определяем центр и натуральную величину радиуса вращения точки A. Центром вращения является точка О (, ). Натуральная величина отрезка АО определена способом прямоугольного треугольника. Далее от точки откладываем по следу отрезок и получаем положение вершины А после поворота. Для построения точки через точку и точку (она также неподвижна, поскольку лежит на оси вращения h) проводим прямую до ее пересечения со следом . Полученная точка пересечения – искомая точка .

Соединяем последовательно точки , и , и получаем натуральную величину треугольника ABC.

Способ плоскопараллельного перемещения. Плоскопараллельное перемещение основано на способе вращения без указания осей вращения. Например, вращая отрезок прямой общего положения до положения, параллельного какой-либо плоскости проекций, можно заметить, что одна из его проекций не меняет своей длины при ее повороте параллельно оси проекций.

Пример 12. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 20, а).

а)	б)

в)

Рис. 20

Решение. Располагаем горизонтальную проекцию А'В' отрезка АВ параллельно оси проекций x (рис. 20, б), сохраняя ее длину (║x, = = А'В'). Фронтальные проекции точек А и В перемещаются по линиям, параллельным оси проекций х. На пересечении линий связи и этих прямых получаем фронтальные проекции и точек А и В соответственно после перемещения. Соединяем точки А'' и В'' и получаем натуральную величину отрезка.

а)

Аналогично можно определить натуральную величину отрезка АВ, приведя его плоскоспараллельным перемещением в горизонтальное положение (рис. 20, в).

Пример 13. Определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 21, а).

Решение. Преобразуем плоскость треугольника ABC перемещением из общего положения в поло-

б)

Рис. 21

жение, параллельное горизонтальной плоскости проекций (рис. 21, б).

Переместим горизонтальную проекцию треугольника ABC так, чтобы он занял фронтально-проецирующее положение. Затем, перемещая плоскость треугольника в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, определяем его натуральную величину. Строим в треугольнике АВС горизонталь h (, ). Располагаем горизонтальную проекцию треугольника так, чтобы проекция была перпендикулярна оси проекций x. Для этого произвольно выбираем положение точки и через нее перпендикулярно x строим прямую, на которой откладываем отрезок равный отрезку горизонтали . Таким образом, определяется положение новой горизонтальной проекции , сохраняющей форму и размеры . По известным отрезкам С'1', А'1', А'В', В'С', С'А' строим горизонтальную проекцию . Фронтальные проекции точек перемещаются по линиям, параллельным оси х. Фронтальная проекция вырождается в прямую линию. Затем перемещаем плоскость треугольника в положение параллельное горизонтальной плоскости проекций. При этом параллельна оси х, и = =, = . Горизонтальные проекции при втором переносе перемещаются параллельно оси х. Построенная горизонтальная проекция является натуральной величиной.

Способ совмещения. Способ совмещения является частным случаем способа вращения. Его сущность состоит в том, что плоскость вращается вокруг одного из ее следов до совмещения с соответствующей плоскостью проекций. В совмещенном с плоскостью проекций положении любой плоский геометрический объект сохраняет свои истинные линейные и угловые размеры.

Пример 14. Построить совмещенный с горизонтальной плоскостью проекций фронтальный след плоскости Р общего положения (рис. 22, а).

а)	б)

Рис. 22

Решение. Для построения совмещенного фронтального следа с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 22, б) выбираем на следе произвольную точку N (N', N'') и вращаем ее вокруг следа до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций. Проекция принадлежит следу , а – лежит на оси x. Через точку строим прямую (след горизонтально-проецирующей плоскости, в которой вращается точка N), перпендикулярную следу (или его продолжению). Раствором циркуля, равным , проводим дугу с центром в точке до пересечения ее с построенным ранее перпендикуляром. На пересечении этих линий получаем совмещенное положение точки N с горизонтальной плоскостью проекций. Через неподвижную точку схода следов, которая принадлежит оси вращения, и совмещенное положение проводим совмещенный фронтальный след плоскости Р.

Пример 15. Определить натуральную величину треугольника ABC, принадлежащего плоскости Р общего положения, заданной следами (рис. 23, а).

Решение. Для решения задачи (рис. 23, б) воспользуемся способом совмещения. Проведем через вершины треугольника горизонтали (, ) и (, ) и совместим плоскость Р с горизонтальной плоскостью проекций (см. пример 14). Используя фронтальные следы и горизонталей, строим совмещенное положение заданного треугольника с горизонтальной плоскостью проекций, которое и определяет его натуральную величину.

а)

Рис. 23

б)

Рис. 23. Продолжение

Способ перемены плоскостей проекций (способ введения дополнительных плоскостей проекций). Этот способ преобразования проекций предполагает, что объекты проецирования сохраняют свое положение относительно плоскостей проекций неизменным. При этом вводятся новые плоскости проекций таким образом, чтобы геометрические объекты оказались в частном относительно них положении. При решении задач этим способом необходимо помнить следующее:

1) плоскости проекций всегда должны быть взаимно перпендикулярными;

2) линии, соединяющие проекции точек (линии связи), должны быть всегда перпендикулярны осям проекций;

3) расстояние от точки до плоскости проекций, не изменяющей своего положения в пространстве, остается постоянным.

На рис. 24 показан принцип замены плоскостей проекций. Новая фронтальная плоскость V₁ расположена перпендикулярно плоскости проекций Н. Линия пересечения х₁ плоскостей проекций V₁ и Н называется новой осью проекций.

Рис. 24

Пример 16. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 25, а).

Решение. Заменим плоскость проекций V на плоскость , расположив ее параллельно отрезку АВ (А'В', А''В'') (рис. 25, б). В новой системе плоскостей проекций отрезок АВ будет занимать положение, параллельное плоскости V₁, и его горизонтальная проекция должна быть параллельна оси проекций. Поэтому ось х₁ в новой системе плоскостей проекций строим параллельно А'В'. Откладываем от оси х₁ аппликаты и соответствующих концов отрезка вдоль линий связи и получаем проекции и . Соединяем эти точки отрезком прямой и получаем натуральную величину отрезка АВ (А'В', А''В'').

а)	б)

в)

Рис. 25

Эту же задачу можно решить, выполнив замену горизонтальной плоскости проекций (рис. 25, в).

Пример 17. Переменой плоскостей проекций определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 26, а).

Решение. Преобразуем систему плоскостей проекций так, чтобы треугольник ABC стал расположен параллельно одной из них (рис. 26, б).

Проведем в плоскости треугольника горизонталь h (, ) и заменим плоскость проекций V плоскостью , перпендикулярной горизонтали h (х₁ ), а следовательно, и треугольнику ABC. При этом сохраняются аппликаты точек А, В и С. Новая фронтальная проекция треугольника преобразуется в прямую линию .

а)

б)

Рис. 26

Затем введем параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно новую горизонтальную плоскость проекций (строим х₂ ║), на которой получим новую горизонтальную проекцию , представляющую собой натуральную величину треугольника ABC. При этом остаются неизменными ординаты точек системы х₁ .

Пересечение поверхностей геометрических тел плоскостью. Линия пересечения поверхности плоскостью является плоской кривой, лежащей в плоскости сечения. Для построения этой линии строят точки, принадлежащие одновременно поверхности и секущей плоскости, соединив которые получают линию пересечения. Среди точек этой линии есть точки, которые выделяются своим особым положением. Их называют опорными. Это точки: расположенные на крайних образующих поверхности и являющиеся границами видимости на чертеже; наиболее или наименее удаленные от наблюдателя; определяющие построение некоторых линий пересечения. Для построения этих точек применяют различные приемы. Все остальные точки называются общими или произвольными и для них используют одни и те же приемы построения.

Основной способ построения заключается в следующем:

1) вводится вспомогательная плоскость, которая должна пересекать и поверхность, и плоскость по некоторым линиям;

2) при пересечении этих линий между собой получают точки, принадлежащие и поверхности и плоскости сечения, т.е. точки, составляющие линию пересечения поверхности и плоскости.

Таким способом определяют общие точки, а также и некоторые опорные точки. Вспомогательную секущую плоскость рекомендуется выбирать таким образом, чтобы она пересекала поверхность по простым линиям (прямым или окружностям). Кроме того, проекции линий пересечения также должны быть или прямыми, или окружностями. Указанный способ построения называется способом вспомогательных секущих плоскостей. Это тот же способ, который применяется и при пересечении плоских фигур.

Рассмотрим примеры построения линии пересечения поверхностей плоскостью.

Пример 18. Построить проекции линии пересечения прямого кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 27, а).

а)

б)

Рис. 27

Решение. Плоскость Р (P_V) пересекает цилиндр по эллипсу. Фронтальная проекция линии пересечения представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом плоскости P_V . Горизонтальная проекция – окружность, совпадающая с очерком цилиндра на горизонтальной плоскости проекций. Профильную проекцию строим, используя профильные проекции точек линии сечения (рис. 27, б).

При сечении конической поверхности плоскостью возникают следующие виды сечений: эллипс, парабола, гипербола, окружность, две пересекающиеся прямые и точки.

Пример 19. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса плоскостью фронтально-проецирующей Р (рис. 28, а).

Решение. Плоскость Р проходит через вершину конуса S и пересекает конус по образующим S1 (S'1', S''1'') и S2 (S'2', S''2'') (рис. 28, б).

Пример 20. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса плоскостью Р (рис. 29, а).

Решение. Плоскость Р (P_V) параллельна круговому основанию конуса и пересекает его по окружности радиусом R (рис. 29, б).

а)	б)

Рис. 28

а)	б)

Рис. 29

а)	б)

Рис. 30

Пример 21. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 30, а).

Решение. Плоскость Р (P_V) пересекает конус по эллипсу. Фронтальная проекция эллипса представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом P_V. Для построения горизонтальной проекции находим точки, определяющие большую ось эллипса – это точки 1 (1', 1'') и 2 (2', 2''), лежащие на очерковых образующих конуса (рис. 30, б). Для построения малой оси эллипса делим отрезок 12 (1'2', 1''2'') пополам и определяем центр эллипса – точку О (О', О''). Затем через центр О (О', О'') проводим вспомогательную плоскость Т₁ (Т_1V) и строим окружность радиусом R₁, на которой находим точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4''). Отрезок 34 (3'4', 3''4'') – малая ось эллипса. Дополнительные точки строим при помощи вспомогательных секущих плоскостей Т₂ (Т_2V) и Т₃ (Т_3V). Плавной линией соединяем построенные точки.

Пример 22. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 31, а).

а)	б)

Рис. 31

Решение. Плоскость Р (P_V) параллельна одной из образующих конуса и пересекает его по параболе. Фронтальная проекция параболы представляет отрезок прямой, совпадающий со следом P_V. Для построения горизонтальной проекции определим вершину 1 (1', 1'') – она находится на очерковой образующей конуса (рис. 31, б). Дополнительные точки, определяющие построение кривой, построим при помощи вспомогательных горизонтальных плоскостей Т₁ (Т_1V) и Т₂ (Т_2V), которые пересекают конус по окружностям радиусов R₁ и R₂. На пересечении этих окружностей с плоскостью Р, находятся дополнительные точки 2 (2', 2''), 3 (3', 3''), 4 (4', 4'') и 5 (5', 5''). Крайние точки 6 (6', 6'') и 7 (7', 7'') получаем при пересечении следа P_V с основанием конуса. Плавной линией соединяем полученные точки и получаем горизонтальную проекцию параболы.

Пример 23. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса горизонтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 32, а).

а)	б)

Рис. 32

Решение. Плоскость Р (P_Н) параллельна двум образующим конуса и пересекает его по гиперболе. Горизонтальная проекция гиперболы представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом P_Н. Для построения вершины гиперболы проведем образующую SA (S'A', S''A''), перпендикулярную следу P_Н (рис. 32, б). При пересечении образующей SA (S'A', S''A'') и следа P_Н находим точку 1 (1', 1''), которая является вершиной гиперболы. Для построения видимости фронтальной проекции линии сечения определим точку пересечения крайней образующей конуса со следом P_Н – это точка 2 (2', 2''). Эта точка будет граничной при определении видимости. Дополнительные точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'') построены при помощи вспомогательной горизонтальной секущей плоскости Т (Т_V). Крайние точки 5 (5', 5'') и 6 (6', 6'') определены как точки пересечения следа P_Н с основанием конуса.

Плавной линией соединяем полученные точки и получаем фронтальную проекцию гиперболы.

Пример 24. Построить проекции линии пересечения пирамиды SABCD фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 33, а).

а)

Рис. 33

б)

Рис. 33. Продолжение

Решение. Так как плоскость Р (P_V) – фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения представляет собой отрезок прямой, совмещенный со следом P_V плоскости. Обозначим точки пересечения ребер пирамиды SA, SB, SC и SD со следом P_V соответственно 1'', 2'', 3'', 4'', и построим их горизонтальные и профильные проекции (рис. 33, б). Горизонтальные проекции 2' и 4' точек 2 и 4 построим, используя их профильные проекции (по условию задачи ребра SB (S'В', S''В'') и SD (S'D', S''D'') – профильные прямые).

Видимость ребер на проекциях определяем следующим образом: на фронтальную проекцию смотрим по направлению s'. Видимыми будут ребра SA (S''А''), SB (S''В'') и SC (S''С''). На горизонтальной проекции направление взгляда совпадает с направлением s'', тогда видимыми будут все ребра.

На профильную проекцию смотрим по направлению s''' и видимыми будут ребра SA (S'''А'''), SB (S'''В''') и SD (S'''D''').

Соединяем полученные проекции точек, и строим проекции линии пересечения.

Пример 25. Построить проекции линии пересечения пирамиды SABC горизонтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 34, а).

Решение. По условию задачи плоскость Р (P_Н) – горизонтально-проецирующая. Поэтому горизонтальная проекция линии сечения представляет собой отрезок прямой, совмещенный со следом P_Н. Обозначим точки пересечения следа P_Н плоскости с ребрами пирамиды 1', 2', 3', и построим фронтальные и профильные проекции точек пересечения (рис. 34, б). Соединяем проекции точек пересечения между собой и получаем проекции линии пересечения. Затем определяем видимость отрезков.

Пример 26. Построить проекции линии пересечения прямой призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 35, а).

Решение. Плоскость Р (Р_V) – фронтально-проецирующая и пересекает ребра призмы в точках 1 – 6 (рис. 35,б). Фронтальные проекции точек 1'', 2'', 3'', 4'', 5'', 6'' совпадают со следом Р_V и представляют собой отрезок прямой. Горизонтальные проекции точек 1', 2', 3', 4', 5', 6' совпадают с горизонтальными проекциями ребер призмы (так как по условию задачи призма прямая и стоит на плоскости проекций Н). Строим профильные проекции точек, соединяем их отрезками прямых и определяем видимость.

Построение разверток поверхностей геометрических тел. Развертыванием поверхности называется процесс ее совмещения с некоторой плоскостью. Поверхность, которая может быть совмещена с плоскостью без разрывов и складок, называется развертываемой, а полученное при этом изображение – ее разверткой.

Развертывание многогранников. Многогранные поверхности являются развертываемыми. Развертка многогранника (многогранной поверхности) представляет собой плоскую фигуру, состоящую из совокупности всех его граней. Рассмотрим построение разверток пирамид и призм как наиболее распространенных в инженерной практике.

а)

б)

Рис. 34

а)

б)

Рис. 35

Пример 27. Построить полную развертку правильной четырехугольной пирамиды и нанести на нее ломаную линию 12341, принадлежащую поверхности пирамиды (рис. 36, а).

Решение. Развертка полной поверхности пирамиды представляет собой совокупность ее основания (в данном случае квадрат) и всех граней (треугольников).

Для построения развертки боковой поверхности заданной пирамиды вначале необходимо определить натуральную величину всех ее ребер SА (S'A', S''A''), SВ (S'В', S''В''), SС (S'C', S''C''), SD (S'D', S''D''). Натуральную величину ребер удобно определить их вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси i (i', i''), совпадающей с высотой пирамиды (см. пример 23). Поскольку заданная пирамида правильная и все ее боковые ребра равны между собой, то достаточно найти натуральную величину одного из них, например, SА (S'A', S''A'') (рис. 36, б).

Основание пирамиды расположено в горизонтальной плоскости проекций, поэтому на эту плоскость оно проецируется без искажения (A'B'C'D'

а)	б)

Рис. 36

в)

Рис. 36. Продолжение

ABCD). Если основание пирамиды расположено в пространстве произвольно относительно плоскостей проекций (не параллельно и не принадлежит ни одной из плоскостей проекций), то для построения развертки такой пирамиды необходимо дополнительно определить натуральную величину ребер основания (или, что то же самое, плоской фигуры основания) любым способом преобразования проекций.

На рис. 36, в показана полная развертка пирамиды. Боковые ее грани (треугольники S₀ A₀ B₀, S₀ В₀ С₀, S₀ С₀ D₀ и S₀ D₀ A₀) построены по трем сторонам. Так, грань S₀ A₀ B₀ строится по сторонам S₀A₀ = SA = , S₀В₀ = SB = = и А₀В₀ = AB = A'B'. Полученные таким образом точки A₀, B₀, C₀ и D₀ соединяем ломаной линией между собой и с точкой S₀. К боковым граням пирамиды на развертке пристраиваем основание, представляющее собой квадрат.

Для того чтобы нанести на развертку ломаную линию 12341, необходимо найти длины отрезков S1 (S'1', S''1''), S2 (S'2', S''2''), S3 (S'3', S''3''), S4 (S'4', S''4''), как это показано на рис. 36, б, а затем отложить их на соответствующих ребрах пирамиды на ее развертке.

а)

б)

Рис. 37

Пример 28. Построить полную развертку четырехугольной призмы и нанести на нее ломаную линию 12341, принадлежащую поверхности призмы (рис. 37, а).

Решение. Развертка призмы представляет собой совокупность ее боковых граней (в данном случае прямоугольников) и двух равных оснований (плоских четырехугольников). Основание призмы расположено в горизонтальной плоскости проекций, поэтому на эту плоскость оно проецируется без искажения (A'B'C'D' ABCD). Боковые грани призмы представляют собой горизонтально-проецирующие плоскости, а ее ребра – горизонтально-проецирующие прямые, поэтому они проецируются на фронтальную плоскость проекций без искажения.

Для построения развертки боковой поверхности призмы откладываем на произвольной горизонтальной прямой (рис. 37, б) стороны основания А₀В₀ = АВ = A'B', В₀С₀ = ВС = В'С', C₀D₀ = CD = C'D', D₀A₀ = DA = D'A'. Из каждой точки А₀, В₀, С₀ и D₀ восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальной прямой длиной, равной высоте призмы, и соединяем полученные точки. Пристраиваем к развертке боковой поверхности два основания призмы.

Для того чтобы нанести на развертку ломаную линию 12341, на соответствующих ребрах призмы на ее развертке откладываем отрезки А₀1₀ = А1 = A''1'', B₀2₀ = B2 = B''2'', С₀3₀ = С3 = С''3'', D₀4₀ = D4 = D''4'', как это показано на рис. 37, б, а затем откладываем их на развертке и соединяем полученные точки ломаной линией.

Развертывание кривых поверхностей. К развертываемым кривым поверхностям относятся только линейчатые поверхности (т.е. поверхности, образующая которых – прямая линия) с пересекающимися смежными образующими. Такие поверхности называются также торсовыми. К торсовым относятся цилиндрические, конические поверхности и поверхности с ребром возврата. Рассмотрим примеры построения разверток некоторых кривых поверхностей.

Пример 29. Построить полную развертку прямого кругового конуса и нанести на нее точку А, лежащую на поверхности конуса (рис. 38, а).

Решение. Полная развертка конуса состоит из развертки его боковой поверхности и окружности основания (рис. 38, в, д).

а)	б)

в)

Рис. 38

г)	д)

Рис. 38. Продолжение

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор с центром в произвольной точке S₀, соответствующей вершине конуса, радиуса L и с углом при вершине, равным

,

где R – радиус окружности основания конуса; L – длина образующей этого конуса (рис. 38, б).

К развертке боковой поверхности в любом месте пристраивается окружность основания, радиус которой R.

Построение на развертке точки А₀, соответствующей точке А (А', А''), лежащей на поверхности конуса, осуществляется следующим образом (рис. 38, б). Вращением вокруг оси конуса определяется натуральная величина отрезка SA (S'А', S''А'') образующей, которой принадлежит точка А (А', А''). От первой образующей на развертке (рис. 38, в) вдоль дуги развертки основания откладываем точку 2₀ так, чтобы угол с центром в точке S₀ был равен

,

где – величина угла с вершиной в S', одна из сторон которого является горизонтальной проекцией первой образующей развертки, а вторая – горизонтальная проекция образующей, которой принадлежит точка А (А', А'').

Соединяем точку 2₀ с S₀ и получаем положение на развертке образующей, на которой лежит точка А. Откладываем вдоль этой образующей от точки S₀ натуральную величину отрезка SA.

На практике чаще строят приближенную развертку конуса. Для этого в конус вписывают пирамиду с вершиной в вершине конуса и основанием, вписанным в основание конуса (рис. 38, г). Чем больше граней у пирамиды, тем точнее получается развертка конуса. Построение развертки пирамиды подробно рассмотрено в примере 27. Для построения точки А на развертке (рис. 38, д) определяется ее положение на какой-либо образующей конуса. Эта образующая переносится на развертку (длина дуги 1₀2₀ на развертке равна длине соответствующей хорды 1'2' на горизонтальной проекции поверхности конуса). На построенной образующей от точки S₀ откладываем натуральную величину отрезка SA.

Пример 30. Построить полную развертку прямого кругового цилиндра и нанести на нее точку А, лежащую на поверхности цилиндра (рис. 39, а).

Решение. Полная развертка цилиндра состоит из развертки его боковой поверхности и двух окружностей оснований (рис. 39, в, д).

Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина – длине окружности его основания:

,

где R – радиус окружности основания цилиндра (рис. 39, б).

К развертке боковой поверхности в любом месте пристраиваются две окружности оснований, радиус которых R.

Построение на развертке точки А₀, соответствующей точке А (А', А''), лежащей на поверхности цилиндра, осуществляется следующим образом (рис. 39, б). От первой образующей на развертке вдоль ее длины откладываем точку 2₀ так, чтобы отрезок 1₀2₀ = l₁ был равен

,

где – величина центрального угла дуги 1'2'.

а)	б)

в)

Рис. 39

г)

д)

Рис. 39. Продолжение

Через точку 2₀ проводим образующую, перпендикулярную развертке окружности основания, и откладываем вдоль этой образующей отрезок 2₀А₀, равный натуральной величине 2''А'' отрезка 2A.

Приближенная развертка цилиндра строится аналогично развертке конической поверхности (см. пример 29). Для этого в цилиндр вписывают прямую призму с основаниями, вписанными в основания цилиндра (рис. 39, г). Естественно, что чем больше граней у призмы, тем точнее получается развертка цилиндра. Построение развертки призмы подробно рассмотрено в примере 28. Затем определяют положение точки на какой-либо образующей, и эта точка переносится на развертку. Длина дуги 1₀2₀ на развертке равна длине соответствующей хорды 1'2' на горизонтальной проекции поверхности цилиндра (рис. 39, д).