лабораторная работа / Лабораторна работа_2

8

Лабораторна робота №2

Варіант № 13

«Дослідження частотних характеристик імпульсних систем»

Мета роботи – навчитися будувати АЧХ імпульсної системи, визначити мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній.

Теоретичні відомості

Частотні характеристики імпульсних систем, як і частотні характеристики безперервних систем, використовують для аналізу стійкості та якості систем.

Частотні характеристики імпульсних систем отримують за допомогою підстановки (де Т₀ – період квантування), яка аналогічна підстановці р = j у випадку безперервних систем. Відповідно до формули Ейлера підстановка матиме такий вид . Часто при побудові частотних характеристик імпульсних систем замість абсолютної частоти  використовують відносну частоту  = Т₀. Тоді підстановка матиме такий вид . З наведених виразів видно, що частотні характеристики імпульсних систем мають періодичний характер і повторюються з частотою ₀.

У зв’язку з використанням підстановки частотні характеристики імпульсних систем залежать від періоду квантування Т₀. На рис. 4 зображені амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи (передаточна функція безперервної частини має вигляд аперіодичної ланки першого порядку ). На рис. 4а зображено АЧХ системи при малому періоді квантування (висока частота квантування), а на рис. 4б – АЧХ імпульсної системи при великому періоді квантування (низька частота квантування). З рисунка 4 видно, що при низькій частоті квантування АЧХ імпульсної системи відрізняється від АЧХ безперервної частини системи. Тому при дослідженні таких імпульсних систем треба враховувати ефект квантування і користуватися дискретними передаточними функціями.

Якщо ж період квантування є досить малим (Т₀ → 0, _ → ∞), вхідний дискретний сигнал сприймається системою як безперервний, а сама імпульсна система еквівалентна безперервній. Частотні характеристики такої імпульсної системи аналогічні частотним характеристикам безперервної частини системи, які повторюються з частотою ₀ = 2π/Т₀, або 2π.

Проте для еквівалентності імпульсної та безперервної систем частота квантування не обов’язково повинна бути нескінченно великою, достатньо виконання таких умов:

{

₀ ≥ 2 _бп,

_f ≤ ₀ – _бп,

де ₀ – частота квантування; _бп – частота смуги пропускання безперервної частини системи; _f – найбільша частота вхідного сигналу.

Наведені вище умови становлять теорему Котельникова-Шеннона.

Теорема Котельникова-Шеннона накладає обмеження на максимальну частоту квантування з точки зору втрати інформації про безперервний сигнал. Умовою відновлення безперервного сигналу U(t) з квантованого U*(t) є відсутність накладення сусідніх компонентів-доданків U*(jT). У цьому випадку АЧХ імпульсної системи в межах будь-якого періоду точно зберігає форму АЧХ безперервної частини. При виконанні умов теореми Котельникова-Шеннона інформація про безперервний сигнал U(t) може бути відновлена з імпульсного сигналу за допомогою фільтра низьких частот.

А(j)





А(j)

Рисунок 1 – Амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи при різних періодах квантування

Хід роботи

Таблиця 1 – Параметри інтегруючої, аперіодичної та коливальної ланок

Номер варіанта	Тк1	Тк2	Кк
13	0,07	0,6	38

1. Запускаемо програму MATLAB, додаток Simulink

2. Для побудови амплітудно-частотної характеристики імпульсної системи збираємо схему (рис. 2)

W(p)

Рисунок 2– Схема імпульсної системи

Виставляємо параметри лінійної ланки з передаточною функцією у відповідності до свого варіанта (див. табл. 1).

Розв`язок рівняння залежить від постійних часу які визначаються відношенням (коефіцієнт затухання). Можна записати , де с. . У нашому випадку , тоді знаменник має два дійсних кореня . Маємо

Для формування вхідного сигналу використовуємо блок Step (сигнал прямокутної форми) з бібліотеки блоків Sources.

Імпульсний вхідний сигнал формуємо за допомогою трьох блоків: Pulse Generator (бібліотека Sources), Switch (бібліотека Signal Routing), Ground (бібліотека Sources).

Робота цих блоків зводиться до наступного. В блоці Switch встановлюється умова, при виконанні якої сигнал проходить через вхід 1 (вхід 3 відімкнений), якщо умова не виконується, то сигнал проходить через вхід 3 (вхід 1 відімкнений). Як правило, в блоці Switch встановлюється така умова (критерій): u2>=Threshold, де Threshold – значення, що встановлюється користувачем. Тобто, коли на вході 2 блока Switch присутній сигнал, значення якого більше значення Threshold, на виході перемикача присутній сигнал з першого входу; інакше на виході перемикача присутній сигнал з третього входу.

До другого входу перемикача підключається генератор імпульсів, за допомогою якого і формується послідовність імпульсів (тобто визначається, коли сигнал проходить через вхід 1 внаслідок виконання умови u2>=Threshold).

3. Побудуємо амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи при різних частотах квантування (різній періодичності спрацювання перемикача).

Частоту квантування виставляємо в одному випадку більшою, ніж частота смуги пропускання лінійної ланки, в іншому – меншою. Частоти квантування підбираємо експериментально самостійно. Періодичність спрацювання перемикача (частота квантування) задається за допомогою блока Pulse Generator (генератор імпульсів). Для зміни частоти квантування в блоці Pulse Generator змінюємо значення параметра Period, який визначає періодичність надходження імпульсів на другий вхід перемикача.

У нашому випадку гранична частота або смуга пропускання безперервної частини системи 1/с. З теореми Котельникова - Шеннона (Якщо частота дискретизації або частота квантування сигналу більша або дорівнює подвійній граничній частоті (смуги пропускання безперервної частини системи) , то можна відновити попередній безперервний сигнал абсолютно точно) , Виберемо, для першого випадку, частоту квантування більшою за граничну частоту:

Для другого випадку частоту квантування виберемо меншою за граничну частоту,

Для побудови АЧХ в обох випадках (при різних частотах квантування) змінюємо частоту вхідного синусоїдального сигналу (блок Sine Wave, параметр Frequency). За отриманими осцилограмами визначаємо амплітуди вхідного і вихідного сигналів для різних значень частоти синусоїдального сигналу, значення амплітуд заносимо до таблиці 2.

Таблиця 2 – Дані для побудови АЧХ імпульсної системи

Частота квантування	Частота вхідного сигналу	Амплітуда вхідного сигналу	Амплітуда вихідного сигналу	Значення АЧХ
125,6	1	1	3,4	3,4
	2	1	2,7	2,7
	3	1	2,1	2,1
	4	1	1,6	1,6
	5	1	1,2	1,2
	6	1	0,98	0,98
	7	1	0,8	0,8
	8	1	0,6	0,6
	9	1	0,5	0,5
	10	1	0,45	0,45
	11	1	0,38	0,38
	16	1	0,2	0,2
	20	1	0,14	0,14
	30	1	0,07	0,07
	40	1	0,04	0,04
	55	1	0,032	0,032
	70	1	0,032	0,032
	85	1	0,04	0,04
	95	1	0,07	0,07
	105	1	0,13	0,13
	110	1	0,21	0,21
	113	1	0,3	0,3
	114	1	0,35	0,35
	115	1	0,4	0,4
	116	1	0,47	0,47
	117	1	0,56	0,56
	118	1	0,68	0,68
	119	1	0,83	0,83
	120	1	1,03	1,03
	121	1	1,3	1,3
	122	1	1,7	1,7
	123	1	2,2	2,2
	124	1	2,9	2,9
	125	1	3,5	3,5
12,56	1	1	2,77	2,77
	2	1	2,37	2,37
	3	1	2	2
	4	1	1,76	1,76
	5	1	1,47	1,47
	6	1	1,40	1,40
	7	1	1,42	1,42
	8	1	1,52	1,52
	9	1	1,72	1,72
	10	1	2,04	2,04
	11	1	2,47	2,47
	12	1	2,89	2,89
	13	1	2,92	2,92
	14	1	2,57	2,57
	15	1	2,17	2,17
	16	1	1,9	1,9
	17	1	1,5	1,5

4. За даними таблиці 2 будуємо АЧХ імпульсної системи для двох випадків (в одному випадку частота квантування більша за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи, в іншому – менша).

На рис. 3 зображено АЧХ імпульсної системи при частоті квантування більшою за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи ( (1/с.)):

Рисунок 3 – АЧХ імпульсної системи при (1/с.)

На рис. 4 зображено АЧХ імпульсної системи при частоті квантування меншою за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи ( (1/с.)):

Рисунок 4 – АЧХ імпульсної системи при (1/с.)

5. За даними експериментів визначаємо мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній (при якій відсутнє накладення сусідніх компонент частотної характеристики).

За теоремою Котельникова – Шеннона , користуючись розрахунком розділу 3, (1/с.) ,мінімальна частота дискретизації або частота квантування . При цій частоті квантування імпульсна система еквівалентна безперервній.

ВИСНОВОК:

Навчилися будувати АЧХ імпульсної системи, визначати мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній.

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Лабораторних робота № 2

з дисципліни

“Теорія автоматичного управління”

Виконав студент

Групи

Перевірив

Суми 2007