лабораторная работа / Лаба№9 Анализ устойчивости методом частотных характеристик

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра «Персональная электроника»

Лабораторная работа №9

по дисциплине «Основы автоматических систем управления»

Анализ устойчивости методом частотных характеристик. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска.

Выполнил:	Зернин Н.Д.
Принял:	проф. Трофимов А.Т.

Дубна, 2010 г.

Цель работы:

- Провести анализ устойчивости методом частотных характеристик.

- Оценить запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе.

- Провести анализ устойчивости системы чтения информации с диска.

Теоретическое введение.

Частотные характеристики системы содержат достаточно информации для определения ее устойчивости. Эти характеристики могут быть получены экспериментально путем подачи на вход системы синусоидального воздействия и варьирования его частоты; это позволяет исследовать относительную устойчивость системы даже тогда, когда значения ее параметров неизвестны. Частотный критерий устойчивости может также подсказать, как следует изменить параметры системы, чтобы повысить ее относительную устойчивость. Частотный критерий устойчивости был предложен Найквистом. Критерий Найквиста основан на теореме Коши. Для определения устойчивости замкнутой системы необходимо исследовать ее характеристическое уравнение:

F(s) = 1 + L(s) = 0.

Для одноконтурной системы L(s) = G(s)H(s). Для многоконтурных систем характеристическое уравнение имеет вид:

,

где - определитель графа. Рассмотрим отображение контуров на s-плоскости функцией F(s). Контур – это некоторая замкнутая траектория на одной плоскости, отображаемая на другую плоскость соотношением F(s). Функция F(s) является комплексной. Тип отображения, при котором формы контуров на s-плоскости и F(s)-плоскости являются подобными, называется конформным отображением. Отметим также, что замкнутый контур на s-плоскости отображается также в замкнутый контур на F(s)-плоскости.

Теорема Коши применяется к функции F(s), которая имеет конечное число полюсов и нулей, так что ее можно представить в виде:

,

где - нули функции F(s), а - ее полюсы. Функция F(s) – это характеристический полином, т.е.

F(s) = 1 + L(s),

где

Отсюда следует, что полюсы L(s) совпадают с полюсами F(s). Однако корнями характеристического уравнения системы являются нули функции F(s), и именно они определяют поведение системы во времени.

Охваты полюсов и нулей функции F(s) контуром на s-плоскости можно связать с охватом начала координат F(s)-плоскости при помощи теоремы Коши, обычно называемой принципом аргумента:

Если контур на s-плоскости придвижении по нему по часовой стрелке охватывает Z нулей и P полюсов функции F(s), не проходя при этом ни через один нуль или полюс, то соответствующий контур на F(s)-плоскости охватывает начало координат N = Z – P раз в направлении по часовой стрелке.

Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая система устойчива, т.е. число полюсов функции L(s) в правой половине s-плоскости равно нулю (P = 0), то замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда контур на L(s)-плоскости не охватывает точку ( - 1, j0).

Если же число полюсов L(s) в правой полуплоскости отлично от нуля, то критерий Найквиста формулируется так:

Замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда число охватов против часовой стрелки контуром точки ( - 1, j0) равно числу полюсов функции L(s), имеющих положительную действительную часть.

Для критерия Найквиста важна точка ( – 1, j0 ) на комплексной плоскости или соответствующее ей значения 0 дБ и – 180˚ на диаграмме Боде. Ясно, что близость годографа GH(jω) к этой точке может служить мерой относительной устойчивости системы. Мера относительной устойчивости называется запасом по модулю и определяется как величина, обратная модулю GH(jω) на частоте, при которой фазовый сдвиг равен – 180˚. Запас по модулю показывает, во сколько раз можно было бы увеличить коэффициент усиления системы, чтобы годограф прошел через точку – 1.

Запас по модулю – величина, определяемая при фазовом сдвиге – 180˚ и показывающая во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе устойчивости, т.е. диаграмма Найквиста пройдет через точку – 1 + j0.

Другим показателем относительной устойчивости может служить запас по фазе. Запас по фазе – величина, определяемая на частоте, при которой и показывающая, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости, т.е. диаграмма Найквиста пройдет через точку – 1 + j0.

Поскольку частотные характеристики предпочтительнее изображать не в полярных координатах, а в виде диаграммы Боде, то запасы устойчивости по модулю и по фазе могут быть определены по этой диаграмме. При анализе устойчивости с помощью диаграммы Найквиста критической точкой является точка с координатами u = -1, v = 0. На диаграмме Боде ей соответствуют значения 0 дБ для модуля и 180˚ ( или - 180˚ ) для фазового сдвига.

Запаздывание по времени – это промежуток времени между моментом, когда в каком-то месте системы произойдет некоторое событие, и моментом, когда это событие проявит себя в другом месте. Идеальное запаздывание по времени можно охарактеризовать передаточной функцией:

,

где T – есть время запаздывания.

Ход работы

Использование MATLAB для анализа устойчивости.

Рассмотрим передаточную функцию:

Построим диаграмму Найквиста, соответствующую этой функции.

>> num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5];

>> sys=tf(num,den);

>> nyquist(sys),grid

Рис. 1. График диаграммы Найквиста, соответствующий G(s).

Показатели относительной устойчивости системы ( запас по модулю и запас по фазе ) можно определить как по диаграмме Найквиста, так и по диаграмме Боде. Запас по модулю показывает, во сколько раз надо увеличить коэффициент усиления, чтобы годограф GH(jω) прошел через точку ( – 1, j0 ) и система оказалась на границе устойчивости.

Определим относительную устойчивость системы с помощью диаграммы Боде.

>> num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5];

>> sys=tf(num,den);

>> margin(sys),grid

Рис. 2. График диаграммы Боде, соответствующий G(s).

Из графиков видно, что запас по фазе равен 49 градусов, а запас по модулю равен 9,55 дБ.

Определим относительную устойчивость системы с помощью диаграммы Найквиста.

>> num=[0.5];den=[1 2 1 0.5]; sys=tf(num,den);

>> [mag,phase,w]=bode(sys);

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w);

>> nyquist(sys);

>> title(['Gm=',num2str(Gm),',Pm=',num2str(Pm)]), grid

Рис. 3. График диаграммы Найквиста, соответствующий G(s).

Из графиков видно, что запас по фазе равен 49, а запас по модулю равен 3.

В данном случае число полюсов функции GH(s) с положительной действительной частью равно нулю, число охватов точки – 1 также равно нулю, следовательно, замкнутая система устойчива.

Система чтения информации с диска.

С помощью MATLAB определим запасы устойчивости по модулю и по фазе при помощи диаграммы Боде при значении K = 400.

K=400; num=[K K];

den=[0.00000000000056 0.0000000064 0.000204 0.204 4 0];

sys=tf(num,den);

margin(sys)

Рис. 4. График диаграммы Боде.

Из графиков видно, что запас по модулю равен 23,4 дБ, а запас по фазе равен 37,5 градусов.

Выводы:

- Устойчивость систем управления с обратной связью можно исследовать с помощью частотного критерия Найквиста. Этот критерий позволяет также определить два показателя относительной устойчивости – запас по модулю и запас по фазе. Мы нашли запас по модулю и запас по фазе для функции G(s) (смотри рис. 2.), которые составляют 9,55 дБ и 49 градусов соответственно.

- Был проведён анализ устойчивости для системы чтения информации с диска при K = 400. Построив диаграмму Боде мы нашли, что запас устойчивости по модулю составил 23,4 дБ, а запас устойчивости по фазе составил 37,5 градусов.

3