лабораторная работа / Лаба№6 Анализ устойчивости линейных систем управления с обратной связью с помощью MATLAB

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра «Персональная электроника»

Лабораторная работа №6

по дисциплине «Основы автоматических систем управления»

Анализ устойчивости линейных систем управления с обратной связью с помощью MATLAB. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска.

Выполнил	Зернин Н.Д.
Принял	проф. Трофимов А.Т.

Дубна, 2010 г.

Цель работы:

• Провести анализ устойчивости системы и найти ее связь с расположением полюсов ее передаточной функции на s-плоскости.

• Рассмотреть и провести анализ критерия устойчивости Рауса – Гуровица.

• Проанализировать устойчивость системы, представленной моделью в переменных состояния.

• Проанализировать устойчивость системы чтения информации с диска.

Используемые средства: ИКС MATLAB.

Теоретическое введение.

При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение имеет их устойчивость. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет никакого смысла. Декларируя это, мы должны признать, что, конечно, могут быть и исключения, но в дальнейшем мы будем считать, что все синтезируемые системы управлении должны быть устойчивыми. Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкнутом состоянии, а некоторые даже и проектируются, будучи таковыми. Большинство современных истребителей, если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту управлять машиной, являются неустойчивыми и просто не могут летать. Инженер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость системы управления неустойчивым объектом (например, самолетом), после чего позаботиться об удовлетворении других требований к динамике системы. С помощью обратной связи мы можем обеспечить устойчивость неустойчивого объекта, а затем надлежащим выбором параметров регулятора удовлетворить такие показатели качества, как установившаяся ошибка, относительное перерегулирование, время установления, время максимума переходной характеристики и другие характеристики.

Всегда можно сказать, что замкнутая система является либо устойчивой, либо неустойчивой. При таком подходе речь обычно идет о так называемой абсолютной устойчивости. Систему, обладающую абсолютной устойчивостью, называют просто устойчивой, отбрасывая слово «абсолютная». Если же замкнутая система является устойчивой, то речь может идти о степени этой устойчивости, и тогда пользуются понятием относитель­ной устойчивости. С этим понятием хорошо были знакомы пилоты на заре развития авиации — чем более устойчив был самолет, тем труднее было совершать различные ма­невры (например, развороты). Одним из показателей относительной устойчивости современных истребителей является их высокая маневренность. Истребитель менее устойчив, чем пассажирский самолет, поэтому он способен маневрировать намного легче. Действительно, движения, совершаемые истребителем, могут быть весьма болезненными для «пассажиров». Как мы увидим позже в этом разделе, система будет устойчива (в абсолют­ном смысле), если все полюсы ее передаточной функции или, что то же самое, все собственные значения матрицы А находятся в левой половине s-плоскости. Если же окажется, что все полюсы (или собственные значения) находятся в левой половине s-плоскости, то далее речь может идти об относительной устойчивости, которая определяется положением этих полюсов.

Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией. Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала или возмущения и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему называют устойчивой.

Устойчивая система — это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.

Понятие устойчивости можно проиллюстрировать на примере конуса, находящегося на плоской горизонтальной поверхности. Если конус поставить на основание и слегка наклонить, он вернется в первоначальное положение равновесия. Говорят, что такое положение равновесия и соответствующая реакция являются устойчивыми. Если конус положить на бок и слегка толкнуть, то он покатится, тем не менее оставаясь все время на боку. Такое положение равновесия называют нейтрально устойчивым. Если же конус поста­вить на вершину и отпустить, то он упадет на бок, поэтому данное положение равновесия является неустойчивым.

Устойчивость динамической системы определяется аналогичным образом. Реакция системы на отклонение, или начальные условия, будет либо затухать, либо оставаться нейтральной, либо нарастать. Согласно определению, линейная система устойчива тогда и только тогда, если интеграл в бесконечных пределах от абсолютного значения ее импульсной переходной функции g(t) является конечным. Иначе говоря, необходимо, чтобы при ограниченном входном сигнале интеграл был конечным.

Критерий Рауса – Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, но мы приведем его в более удобной табличной форме.

В основе критерия Рауса – Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характеристического уравнения

в виде следующей таблицы:

Следующие строки таблицы образуются по приведенному ниже правилу:

где

,

,

,

и т.д. Алгоритм вычисления элементов таблицы можно построить на основе определителей или на основе выражения для .

Критерий Рауса – Гурвица утверждает, что число корней полинома q(s) с положительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий требует, чтобы для устойчивой системы в первом столбце таблицы Рауса не было изменений знака. Данное условие является и необходимым и достаточным.

Ход работы

Анализ устойчивости с помощью MATLAB.

Как было отмечено выше, критерий Рауса – Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости. Если задано характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами, то с помощью критерия Рауса – Гурвица можно определить число корней, расположенных в правой полуплоскости. Два изменения знака в первом столбце указывают на наличие двух корней уравнения в правой полуплоскости; следовательно, замкнутая система неустойчива.

>> numg=[1]; deng=[1 1 2 23]; sysg=tf(numg,deng);

>> sys=feedback(sysg,[1]);

>> pole(sys)

ans =

-3.0000

1.0000 + 2.6458i

1.0000 - 2.6458i

Если характеристическое уравнение является функцией единственного параметра, то с помощью критерия Рауса – Гурвица можно определить диапазон значений этого параметра, при которых система будет устойчивой. Рассмотрим замкнутую систему, характеристическое уравнение которой имеет вид:

С помощью критерия Рауса – Гурвица мы нашли, что система устойчива при . Проверим этот результат графически с помощью MATLAB.

% Вычисляет корни уравнения q(s)=s^3+2s^2+4s+K pri 0<K<20

%

K=[0:0.5:20];

for i=1:length(K)

q=[1 2 4 K(i)];

p(:,i)=roots(q);

end

plot(real(p),imag(p),'x'),grid

xlabel('Действительная ось'),ylabel('Мнимая ось')

Рис. 1. График траектории корней уравнения.

Как видно из графика, с увеличением K корни характеристического уравнения смещаются вправо, при K=8 они оказываются на мнимой оси, а при K>8 попадают в правую полуплоскость.

Найдем границу устойчивости в плоскости параметров K и a. Затем мы сможем найти пары значений (K, a), принадлежащих области устойчивости, таких, которые удовлетворяли бы ограничению на установившуюся ошибку.

% Определение области устойчивости для системы управления поворотом гусеничной машины

a=[0.1:0.01:3.0]; K=[20:1:120];

x=0*K; y=0*K;

n=length(K); m=length(a);

for i=1:n

for j=1:m

q=[1,8,17,K(i)+10,K(i)*a(j)];

p=roots(q);

if max(real(p))>0, x(i)=K(i); y(i)=a(j-1); break; end

end

end

plot(x,y), grid, xlabel('K'), ylabel('a')

Рис. 2. График области устойчивости в плоскости параметров (K, a) для системы управления поворотом гусеничной машины.

Построим реакцию системы на линейный входной сигнал, изменяющийся с единичной скоростью.

% Реакция системы управления поворотом гусеничной машины при а = 0,6 и к =70

%

t=[0:0.01:16]; u=t;

numgc=[1 0.6]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc, dengc);

numg=[70]; deng=[1 7 10 0]; sysg=tf(numg, deng);

sysa=series(sysgc,sysg);

sys=feedback(sysa, [1]);

[y, T]=lsim(sys,u,t);

plot(T,y,t,u,'--'), grid

xlabel('time(s)'), ylabel('y(t)')

Рис. 3. График реакции системы управления поворотом гусеничной машины на линейный входной сигнал при K=70 и а=0,6.

Установившаяся ошибка менее 0,24.

Обратимся теперь к анализу устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния. Устойчивость системы можно определить по характеристическому уравнению, которое записывается через матрицу А:

det(sI - A) = 0.

Зададим матрицу А:

Вычислим характеристический полином матрицы А.

>> A=[-8 -16 -6; 1 0 0; 0 1 0];

>> p=poly(A)

p =

1.0000 8.0000 16.0000 6.0000

>> roots(p)

ans =

-5.0861 -2.4280 -0.4859

Данная система является устойчивой, т.к. все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части.

Определим область устойчивости системы в случае неустойчивого объекта на примере системы управления реактивным самолетом в трехмерном пространстве.

>> [p,z]=meshgrid(1.2:0.2:10,0.1:0.2:10);

>> k=p.*(p-1)./(p-1-z);

>> mesh(p,z,k)

Рис. 4. График границы устойчивости в трехмерном пространстве.

Система чтения информации с диска.

Построим реакцию системы на переходную характеристику системы с обратной связью по скорости.

Ka=100; K1=0.05;

ng1=[5000]; dg1=[1 1000]; sys1=tf(ng1, dg1);

ng2=[1]; dg2=[1 20 0]; sys2=tf(ng2, dg2);

nc=[K1 1]; dc=[0 1]; sysc=tf(nc,dc);

sys0=series(Ka*sys1,sys2);

sys=feedback(sys0,sysc); sys=minreal(sys);

t=[0:0.001:0.5];

step(sys,t);

ylabel('y(t)'), xlabel('Время (сек)'), grid

Рис. 5. График реакции системы на переходную характеристику системы с обратной связью по скорости.

Выводы:

Устойчивая система была определена как система, обладающая ограниченной реакцией на входной сигнал. Также было показано, что устойчивость системы непосредственнно связана с расположением полюсов ее передаточной функции на s-плоскости. Был рассмотрен и проиллюстрирован примерами критерий устойчивости Рауса – Гурвица. Было введено понятие относительной устойчивости, также связанное с расположением на s-плоскости полюсов передаточной функции системы. Рассматривался метод анализа устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния. Критерий Рауса – Гурвица позволяет получить однозначный ответ на вопрос об абсолютной устойчивости линейной системы. В то же время он не позволяет судить об относительной устойчивости, которая непосредственно связана с положением корней характеристического уравнения. Критерий Рауса – Гурвица говорит о том, сколько корней находиться в правой полуплоскости, но не указывает конкретного положения этих корней. С увеличением K корни характеристического уравнения смещаются вправо, при K=8 они оказываются на мнимой оси, а при K>8 попадают в правую полуплоскость. С помощью MATLAB мы можем вычислить точные значения корней и тем самым судить об относительной устойчивости системы. Установившаяся ошибка на реакции системы управления поворотом гусеничной машины на линейный входной сигнал при K=70 и а=0,6 будет менее 0,24. Это видно из рисунка 3.

2