3.2 Проверка устойчивости сау по критерию Найквиста

Проверка устойчивости разомкнутой системы:

w=tf([100],[5 0.1 2 2 1])

Задаем функцию в Mathlab’е:

100

-----------------------------------

5 s^4 + 0.1 s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

Выполняем step(w):

Из диаграммы видим ,что переходный процесс незатухающий, следовательно разомкнутая система является неустойчивой. Согласно критерию Найквиста, для того чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞ охватывала точку с координатами (-1, j0) столько раз, сколько у нее корней справа от мнимой оси.

Рассмотрим диаграмму Найквиста для проверки этого условия:

>> nyquist(w)

Вывод: Как видно из диаграммы, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает вообще точку с координатами (-1,j0), следовательно замкнутая система не устойчива.

Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе:

>> margin(w)

Вывод: На графике видно, что ЛФЧХ разомкнутой системы вообще не имеет значения -π ни при какой частоте, а всегда лежит ниже его. Отсюда следует, что данная замкнутая САУ - неустойчива.

5. Ответы на контрольные вопросы

1) Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы A (корней характеристического уравнения) была отрицательной.

Re () < 0,

2) В случае линейных САУ устойчивость определяется только структурой системы и её параметрами и не зависит от внешних воздействий. Рассмотрим, как оценить это свойство для систем типа:

(4.1)

Переходные процессы в ней определяются как решение матричного уравнения состояния следующим образом:

(4.2)

Здесь первое слагаемое соответствует свободной составляющей движения, второе - вынужденной.

Основным режимом работы системы является равновесный (статический) режим, при котором переменные состояния с течением времени не меняются, а все производные координат состояния равны нулю.

Покажем, что процесс движения к равновесию можно считать свободным. Предварительно запишем уравнение равновесия, полагая в (4.1)

(4.3)

откуда при det A 0 определим равновесное значение переменных состояния

(4.4)

Введем новые координаты, равные отклонениям от точки равновесия,

(4.5)

и запишем уравнение в отклонениях:

так как (4.6)

После подстановки в (4.6) вместо его значения из (4.1) с учетом (4.5) получим

Окончательно уравнение в отклонениях имеет вид:

(4.7)

Определение. Линейная система называется устойчивой, если для ее процессов выполняется свойство:

. (4.8)

Вид процессов системы (4.7) определяется ее решением, которое находится через матричную экспоненту в виде

(4.9)

Поскольку выражение (4.9) соответствует первой составляющей решения (4.2), то устойчивость линейной системы (4.1) определяется только свойствами автономной системы и не зависит от внешних воздействий. Это означает, что можно не переходить к уравнениям в отклонениях от состояния равновесия, а для анализа устойчивости исследовать свойства матрицы A.

3) Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица nxn были положительны.

Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости, вытекающим из этого критерия, является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения :

4) Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы амплитудно - фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывала точку с координатами {-1, j0}.

Критерий Найквиста можно также применять в случае астатических САУ, то есть когда разомкнутая система имеет в своем составе интегратор

Полученная в результате замены в этом выражении p на амплитудно - фазовая характеристика будет иметь неопределенность в точке = 0. Поэтому при ее построении делают аппроксимацию: характеристику дополняют полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на положительной вещественной полуоси:

Запасом устойчивости по амплитуде называется величина L, определяемая как

,

где - частота на которой ЛФЧХ достигает значения –π.

Запасом устойчивости по фазе называется величина , определяемая как

,

г де - частота на которой ЛАЧХ равна нулю.

5) Структурно-устойчивыми системами называются такие, которые, являясь неустойчивыми при некоторых значениях своих параметров, можно перевести в устойчивое состояние посредством изменения параметров системы. Те системы, которые не могут быть переведены в устойчивое состояние посредством изменения параметров, называются структурно-неустойчивыми.