лабораторная работа / metodicheskie_ukazaniya_po_vypolneniyu_laboratornyh_rabot_po

в преобразованной схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звенья) ми, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т. д.

Пример. Пусть необходимо получить эквивалентное представле) ние для структуры, приведенной на рис. 1.

13

11

12

17

14

Рис. 1. Исходная структура САУ

Преобразованиевключаетнесколькоэтапов,показанныхнарис.2–5.

13

17

14 2316

Рис. 2. Перенос узла через сумматор

11

Таким образом, первый способ преобразования структурных схем заключается в непосредственном использовании правил, приведенных в табл.1. Неудобство использования этого подхода заключается в том, чтопорядокпримененияформулздесьдостаточнопроизволен,возмож) ны ошибочные шаги, усложняющие поиск решения.

Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы заклю) чается в использовании модели системы в виде сигнального графа.

Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит изузлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей.

Ветвь соответствует блоку структурной схемы, она отражает зави) симость между входной и выходной переменными. Сумма всех сигна) лов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу перемен) ную.

Последовательностьветвеймеждудвумяузламиназываетсяпутем. Контуром называется замкнутый путь, который начинается и за)

канчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не встречается наэтомпутидважды.Коэффициентпередачиконтура–этопроизведе) ние всех входящих в него дуг.

Контурыназываютсянекасающимися,еслионинеимеютобщихуз) лов.

Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме.

12

Пусть X(s) и Y(s) – входная и выходная переменные системы. Тог) да для вычисления ПФ системы управления по ее графу можно вос) пользоваться формулой Мейсона:

где Pi – i й путь от входа к выходу; N – количество путей; ∆– опреде) литель графа; ∆i – дополнительный множитель для пути.

Определитель графа получается по формуле:

K

где ∑Lk – сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту)

r =1,s=1,l=1

ний всех возможных комбинаций из трех некасающихся контуров. Дополнительный множитель для i го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту)

ров, касающихся этого пути.

Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с ис) пользованием формулы Мейсона для структуры рис. 1, которой соот) ветствует граф, показанный на рис. 6.

От входа к выходу ведут два пути:

11

319 31

Рис. 6. Описание системы управления сигнальным графом

13

P1=W1W3W5W6.

P2= W2W3W5W6

В графе есть два контура:

L1=–W3W5W4

L2=–W5W6W7 .

Контур L1 касается контура L2, поэтому определитель графа вы) числяется по формуле:

∆ =1−(L1 + L2 ) .

Контуры в этом примере касаются всех путей, поэтому дополни) тельные множители путей

Таким образом, использование сигнальных графов и применение формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения структурной схемы.

2.Использование пакета MatLab

Впакете MatLab имеется ряд функций, с помощью которых мож) но выполнять структурные преобразования:

– series(w1,w2) – последовательное соединение динамических зве) ньев;

– parallel(w1,w2) – параллельное соединение динамических зве) ньев;

– feedback(w1,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи к w1;

– feedback(w1,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи звена w1;

– feedback(w1,w2,sign) – включение звена w2 в контур обратной связи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1,w2)= =feedback(w1,w2,)1));

Пример:

>>w=tf([1 2],[1 2 2])

Transfer function: s + 2

14

——————

s^2 + 2 s + 2

>>w1=tf([1 2 3],[1 2 2])

Transfer function: s^2 + 2 s + 3

——————

s^2 + 2 s + 2

>>w2=series(w,w1)

Transfer function: s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6

——————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

>>w3=parallel(w,w1)

Transfer function:

s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10

————————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

>>w4=feedback(w,w1)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

————————————————

s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10

Дляпроверкиправильностипроведенныхпреобразованийнеобходимо собратьсхемуисходнойСАУисоответствующуюейэквивалентнуюсхемув MatLabSimulink.Задачасчитаетсярешенной,еслиприподаченавходобо) ихсхемодинаковыхтестовыхвоздействийнаблюдаютсяодинаковыевы) ходныесигналы.

3.Заданиеналабораторнуюработу

ВыполнитьпреобразованиезаданноговариантаструктурнойсхемыСАУ

вэквивалентнуюПФдвумяспособами:

–непосредственноиспользуяправилатабл.1;

–используяпредставлениеввидесигнальногографаиформулуМейсо)

на.

Вариантызаданийприведенывтабл.2.

ВкачествезвеньевW1–W3использоватьтиповыединамическиезвенья спараметрами,выбраннымивлабораторнойработе№1.

Отчетполабораторнойработедолженсодержать:

–описаниевсехэтаповпреобразованияисходнойсхемыиполучающих) сяпромежуточныхрезультатов,включающеемоделированиереакциисхе) мынатиповоевоздействие(скачок)доипослепреобразования;

15

–сигнальный граф системы, описание путей, контуров и расчет ПФ по формуле Мейсона;

–схемы экспериментов в Simulink MatLab и протокол команд MatLab.

–графики переходных процессов при подаче на вход исходной и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий воздей) ствий (импульс, скачок, синусоида).

16

Лабораторная работа №3

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

1. Методические указания

Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си) нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция си) стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свой) ствах.

Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту ω, т. е. описываетсяформулой

x = asin(ωt).

Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход) ного по фазе на величину ψ(фазовый сдвиг):

y = A1 sin(ωt +ψ).

Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде

A = A1 . a

Для каждой частоты входного сигнала ωбудут свои A и ψ. Изменяя ω в широком диапазоне, можно получить зависимость

A(ω) – амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) – фазо) вую частотную характеристику (ФЧХ).

Главное достоинство метода частотных характеристик заключа) ется в том, что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери) ментально. Для этого необходимо иметь генератор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измеритель) ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба) ний на выходе объекта.

Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ W(s). Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал дос) таточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида [1]

x(jω) = ejωt.

Тогда выходной сигнал

y(jω) = A(ω)ej(ωt+ψ(ω)),

17

и частотная ПФ

W(jω) = y(jω) = A(ω)ejψ(ω). x(jω)

Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s) под) становку s = jω , и тогда полученная W(jω) является комплексным выражением, которое можно представить в виде:

W(jω) = a1(ω) + jb1(ω) . a2 (ω) + jb2(ω)

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пере) даточной функции необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделе) ние:

Графики функций U(ω) и V(ω) называют соответственно веще ственной и мнимой частотной характеристиками.

В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенных в логарифмическом масштабе – лога рифмические частотные характеристики (ЛЧХ).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

(ЛАЧХ) определяется следующим выражением:

L(ω) = 20 lgA(ω).

18

Логарифмической фазовой частотной характеристикой(ЛФЧХ) называется график зависимости ψ(ω), построенный в логарифмичес) ком масштабе частот.

Единицей L(ω) является децибел (дБ), а единицей логарифма часто) ты – декада. Декадой называют интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она измениласьнаоднудекаду.ОсьординатприпостроенииЛЧХпроводят через произвольную точку, а не через точкуω= 0. Частоте ω= 0 соответ) ствует бесконечно удаленная точка: lgω→–∞при ω→0.

Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том, что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических звеньев изображаются отрезками прямых.

Пример. Построим ЛЧХ апериодического звена первого порядка. Передаточная функция звена

Следовательно, АЧХ описывается формулой

ФЧХ строится по формуле

ψ(ω) = −arctg(Tω).

ЛАЧХ апериодического звена 1)го порядка

L(ω) =20lgk −20lg (Tω)2 +1.

По этой формуле можно построить две асимптоты – прямые, к которым стремится ЛАЧХ при ω→ 0 и ω→ ∞. Так, при ω→ 0 второе слагаемое близко к нулю, и этот участок ЛАЧХ представляет собой горизонтальную прямую

L(ω) =20lgk.

19

При ω →∞получаем наклонную прямую:

L(ω) ≈ −20lg (Tω)2 +1 → −∞.

Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть грани) цы декады:

ω= 1 и ω= 10.

T T

Изменение ЛАЧХ между этими точками:

ЛЧХ часто называют диаграммами Боде.

2.Использование пакета MatLab

Впакете MatLab ЛЧХ объекта, заданного с помощью ПФ, можно получить с командой bode.

149

3

9

8

91 3

2

1689

Рис. 1. Частотные характеристики динамических звеньев

20