Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_____.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.12.2018
Размер:
381.95 Кб
Скачать

14

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

2. Правило Лопиталя.

3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.

7. Асимптоты графика функции.

8. Свойства неопределенного интеграла.

9. Таблица основных неопределенных интегралов.

10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).

11. Определенный интеграл.

12. Свойства определенного интеграла.

13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

14. Формула Ньютона-Лейбница.

15. Длина дуги плоской кривой.

16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.

17. Понятие функции нескольких переменных.

18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.

19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.

20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.

21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

23. Условный экстремум функции нескольких переменных.

24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.

25. Метод наименьших квадратов (для случая f(x)=ax+b).

26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши

28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

29. Комплексные числа и действия над ними.

30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

31. Метод вариации произвольной постоянной.

32. Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.

33. Необходимое условие сходимости числового ряда.

34. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами.

35. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.

38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

39. Ряды Тейлора и Маклорена.

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1)Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0  пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.

2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда  т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда  т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

2. Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел  конечный или бесконечный.

Раскрытие /. Второе правило.

Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.

Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.

Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Убыв. и возраст. ф-ии назыв. монотонностью.

Достаточное условие возрастания(убывания): f(x) – возвраст. на Х, если для любых х1, х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)<f(x2). f(x) – убыв. на Х для любых х1,х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)>f(x2).

4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

хо назыв. т. локального max f(x) если сущ. некот. окрестность Ve(xo), то для любых. х принадлеж. Ve(xo) x≠xo, f(xo)>f(x)

f(xo)<f(x), то xo – т. лок. min

Эти точки назыв. точками лок. экстремума, значение ф-ии в этих точках назыв экстремумами.

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х0- т. max

- если с “-” на “+”, то х0- т. min

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Глобальный экстремум – наиб. и наим. знач. ф-ции на огран. замкнутом мн-ве.

1.Нахождение производной f’(x).

2.Решаем уравнение f’(x)=0, находим критические точки, в которых производная=0, или не существует.

3.Критическими точками разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной на каждом интервале. Если f’(x) меняет знак с + на - , то это точка max, если с – на +, то это точка min. Если производная не меняет знак, то функция f(x) в этой точке экстремума не имеет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]