РГР / ТАУ практика / 4 Устойчивость
.docМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНГИЮ
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В
г. ТАГАНРОГЕ
Факультет автоматики и вычислительной техники
Кафедра систем автоматического управления__
© Тесленко О.А.
Практическое занятие 4
Дисциплина «Основы автоматического управления»
Тема: Исследование устойчивости систем автоматического управления
Таганрог 2010
Проработать материалы лекций Л8.,Л9.
1.Алгебраические критерии устойчивости Гурвица
Для
устойчивости линейных систем необходимо
и достаточно, чтобы при
все
главных определителей матрицы Гурвица
были положительны.
Пример 1
Пример 1
Дано. Структурная схема САУ представлена на рис.1.
Рис.1
Требуется определить с помощью критерия устойчивости Гурвица, в каких пределах можно изменять коэффициент усиления местной положительной ОС , чтобы САУ оставалась устойчивой?
Решение
Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости Гурвица, необходимо определить
.
характеристический полином замкнутой системы имеет вид
. (1)
необходимое условие устойчивости – положительность всех входящих в коэффициентов . Т.е.
,
,
.
Таким образом, границы изменения коэффициента ПОС .
Графическое изображение границ устойчивости коэффициента представлено на рис.2.
Рис.2
Пример 2
Дано. Структурная схема САУ представлена на рис.3.
Рис.3
Требуется определить с помощью критерия устойчивости Гурвица, в каких пределах можно изменять коэффициент усиления местной положительной ОС , чтобы САУ оставалась устойчивой?
Решение
Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости Гурвица, необходимо определить
. (2)
характеристический полином замкнутой системы имеет вид
. (3)
Проверим необходимые условия устойчивости – положительность всех входящих в коэффициентов . Т.е.
выполняются при любых .
Затем необходимо определить достаточные условия, для этого составим матрицу Гурвица
Таким образом, коэффициент оОС может быть любым положительным .
2. Критерий устойчивости Михайлова
Для
устойчивости линейной системы
-порядка
необходимо и достаточно, чтобы изменение
аргумента функции
при изменении частоты
равнялось бы
,
то есть
при
.
Пример 3
Рассмотрим характеристический полином (1) с учетом
.
Чтобы построить Годограф Михайлова, необходимо определить функцию посредством замены в характеристическом полиноме и выделить действительную и мнимую части
Составим таблицу значений и при изменении и построим годограф
-
0
19
0
1,378
0
4,135
Рис.4
Согласно критерию устойчивости Михайлова, рассматриваемая САУ – устойчива.
Если выбрать в характеристическом полиноме (1) с учетом , то
Годограф Михайлова будет иметь вид
Рис.5
Согласно критерию устойчивости Михайлова, рассматриваемая САУ при является неустойчивой.
Пример 4
Рассмотрим характеристический полином (3) с учетом
.
Тогда
Составим таблицу значений и при изменении и построим годограф
0
20
0
0,652
0
10,923
1,45
–78,7
0
Рис.5
Согласно критерию устойчивости Михайлова, рассматриваемая САУ при устойчива.
3.Критерий устойчивости Найквиста
Общая формулировка критерия Найквиста
Для
устойчивости замкнутой системы
автоматического регулирования необходимо
и достаточно, чтобы разность между
числом положительных и отрицательных
переходов частотного годографа
комплексного коэффициента передачи
разомкнутой системы
через отрицательную полуось от
до
была равна
,
где
– число корней характеристического
уравнения разомкнутой системы, лежащих
в правой полуплоскости.
Для систем, находящихся в разомкнутом
состоянии на границе устойчивости с
нулевыми корнями характеристического
уравнения годограф
берётся с дополнением в бесконечности
Пример 5
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой части
системы, приведенной на рис.3 с учетом
(3)
Для перехода в частотную область необходимо выполнить замену и разделить действительную и мнимую части.
Таким образом
Составим таблицу значений и при изменении и построим годограф
|
|
|
0 |
–2,160 |
|
0,449 |
–0,202 |
0 |
0,6 |
–0,856 |
–0,528 |
|
–0 |
0 |
Рис.6
На рис.7 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также определены запасы по амплитуде и фазе.
Для того, чтобы построить ЛАЧХ и ЛФЧХ необходимо преобразовать (3) к виду
,
И определить сопрягающие частоты: и , далее изучить Л.5, и на основании полученных знаний, построить характеристики.
Рис.7
Домашнее задание
-
Исследовать устойчивость САУ, и определить по характеристическому полиному
с помощью критерия Гурвица.
-
Исследовать устойчивость САУ по критерию Гурвица и построить области устойчивости по параметру , если , . Структурная схема САУ представлена на рис.8. Определить вид корректирующего устройства.
Рис.8
-
Построить годограф Михайлова для устойчивой и неустойчивой САУ представленной на рис.8.
-
Построить годограф Найквиста для устойчивой и неустойчивой САУ, представленной на рис.8, определить запасы по амплитуде и фазе.
-
По амплитудно-частотным характеристикам разомкнутых систем, проведенных на рис.9,10,11 проанализировать устойчивость замкнутых систем регулирования.
Рис.9
Рис.10
Рис.11