1. Критерии устойчивости замкнутой системы по критериям Найквиста.

Критерий Найквиста дает возможность судить об устойчивости замкнутой системы посредством исследования разомкнутой системы. Руководствуясь формой и расположением на комплексной плоскости амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, можно судить о динамических свойствах замкнутой системы.

Для построения АФЧХ необходимо определить ее модуль и аргумент. ПФ разомкнутой системы можно представить в виде произведения трех передаточных функций

Модуль АФЧХ САУ будет равен

Аргумент равен сумме фазовых характеристик отдельных звеньев

АФЧХ системы, записанная в показательной форме, порождает АЧХ и ФЧХ, т.е.

.

Аналитическое выражение для АФЧХ может быть легко получено по ПФ системы путем замены оператора Лапласа на.можно представить в виде:

,

где – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), а– мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Связь частотных характеристик определяются следующими выражениями

;

;

;

.

Далее, изменяя частоту от 0 до, строим график зависимости изменения вещественная от мнимой частотной характеристики.

Рисунок. 8 Годограф АФЧХ

Как легко заметить, амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку с координатами , то есть система устойчива.

7. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы и запасы устойчивости по амплитуде и фазе

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) системы определяется выражением

.

Найдем частоты:

Найдем частоту среза из условия

Рис.9 ЛАХ разомкнутой системы

Логарифмическая фазовая частотная характеристика определяется как сумма элементных динамических звеньев.

Рис.10 ЛФХ системы

Запасом устойчивости по амплитуде называют число, которое показывает во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы для того, чтобы, не изменяя фазового сдвига, вывести ее на границу устойчивости.

Запасом устойчивости по фазе называют число, которое показывает на сколько нужно увеличить фазовый сдвиг разомкнутой системы для того, чтобы не изменяя коэффициент передачи вывести ее на границу устойчивости..

Таким образом, запас по фазе можно определить как:

=

8. Коэффициенты ошибок замкнутой системы

Определим передаточную функцию замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию

и передаточную функцию для ошибки по возмущению

Разложим в ряд по степенямpcделением числителя на знаменатель

откуда получаем коэффициенты ошибок ,

Поступаем аналогично для и получаеми

9. Переходная характеристика системы

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Знаменатель приравниваем к нулю и делим на 0,0050625

С помощью функций подбор параметров в пакете Excelнаходим вещественный корень уравнения и преобразуем.

P₁= - 67,526

Далее преобразуем характеристическое уравнение.

Д=7.437²-4*68.07659= - 216.997391

Корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Следовательно, переходная характеристика будет иметь вид затухающих колебаний.

Далее находим

В(р)=166,4

В(0)=166,4

Согласно теореме разложения. Переходная функция равна

где

Вычислим отдельно слагаемые находящиеся под знаком суммы.

При P₁= - 67,526 получаем:

При получаем:

При получаем:

Преобразуем сумму слагаемых относящихся к комплексным корням

Реакция САУ на ступенчатое воздействие определяем следующим выражением:

Рис. 11 Переходная функция