Контрольное задание №4. Транспортная задача или Модели управления запасами Методические указания
Транспортная задача является специальным типом задач линейного программирования. Экономическая постановка этой задачи следующая: имеется m поставщиков и n потребителей некоторой продукции. Заданы тарифы (стоимость) перевозок единицы продукции от поставщиков к потребителям, известны объемы запасов у поставщиков и потребности каждого потребителя в продукции. Требуется составить план поставок продукции от поставщиков к потребителям так, чтобы суммарная стоимость перевозок была минимальной.
Математическая постановка этой задачи имеет вид
(4.1)
Здесь Xij – объем; cij – тариф поставки продукции от i-го поставщика к j-му потребителю; bj – потребности потребителей в продукции; ai - запасы продукции у поставщиков.
Исходные данные транспортной задачи оформляются в виде табл.4.1, где заданы мощности поставщиков и потребности потребителей, а также транспортные затраты на перевозку единицы продукции от поставщиков к потребителям.
Таблица 4.1
Исходные данные транспортной задачи
|
Мощности поставщиков |
Мощности потребителей |
|||
|
250 |
100 |
150 |
50 |
|
|
80 |
6 |
6 |
1 |
4 |
|
320 |
8 |
30 |
6 |
5 |
|
100 |
5 |
4 |
3 |
30 |
|
50 |
9 |
9 |
9 |
9 |
При решении транспортной задачи в системе Excel исходные данные записываются в две таблицы и формируется вычисляемая ячейка значения целевой функции. В изменяемую таблицу Объемы перевозок первоначально для контроля вводятся единицы. В таблицу исходных данных задачи вводятся данные табл. 4.1.
Рис. 4.1. Таблицы Excel для решения транспортной задачи
В целевую ячейку записана функция СУМПРОИЗ(В14:Е17;В5:Е8), которая вычисляет совокупные затраты на перевозку грузов от поставщиков к потребителям. В ячейках Итого помещены формулы сумм объемов перевозок по строкам и столбцам, затем вызывается функция Поиск решения и осуществляется ввод данных в окно функции (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Ввод данных в окно функции Поиск решения
при решении транспортной задачи.
Затем вводятся ограничения по мощностям поставщиков и потребителей.
Рис. 4.3. Ввод ограничений транспортной задачи
В окне Параметры поиска решения устанавливаются параметры решения задачи (рис. 4.4). После этого выполняется возврат в окно Поиск решения, где нажимается кнопка Выполнить (см. рис. 4.5).
Анализ содержания таблицы позволяет сделать вывод, что минимальные затраты на перевозку всех грузов равны 3200 ед.. Объемы перевозок отражены в таблице Матрица объемов перевозок на том же рисунке. Таким образом, решение найдено.
Рис. 4.4. Ввод параметров решения транспортной задачи
Рис. 4.5. Решение транспортной задачи
Модели управления запасами
Основная цель управления запасами — достичь приемлемого уровня обслуживания потребителей, удерживая расходы на поддержание запасов в разумных пределах. Два основных вопроса, которые при этом приходится решать, — это сроки и объемы заказов, то есть когда и сколько заказывать.
Выбирается промежуток времени. Рассматривается модель одиночного склада. Считается, что на складе хранится запас однотипных изделий (однономенклатурный запас). Спрос на эти изделия может быть постоянным или случайным. Пополняться склад может либо периодически (циклическая модель), либо при снижении запасов до некоторого уровня (уровневая модель).
Объем заказа — это количество заказываемых изделий. Уровень повторного заказа — количество изделий на складе, при котором подается заказ на новые изделия. Время поставки может быть либо мгновенным, либо случайным.
Штраф за дефицит — это убытки, связанные с отсутствием запаса. Такие издержки возникают, когда спрос превышает наличные запасы, и включают возможные потери от нереализованных продаж, потерю доверия клиентов и т. д.
За хранение каждой единицы запаса берется определенная плата. Стоимость хранения — это расходы, связанные с содержанием товара на складе в течение определенного времени. Сюда относятся собственно складские расходы (арендная плата, охрана, отопление, освещение и т. д.), страховка, издержки от старения, износа, порчи, мелких хищений, проценты и т. д. Стоимость хранения включает также и издержки, связанные с вложением в материальные запасы денежных средств, которые можно было бы прибыльно использовать где-то еще.
Стоимость подачи заказа — это накладные расходы, связанные с реализацией заказа (затраты на подготовительно-заготовочные операции, не зависят от объема заказа). Сюда входят определение нужного объема заказа, оформление счетов-фактур, проверка партии поставки на количество и качество, перемещение запасов на хранение.
Вся теория строится с целью минимизации издержек.
Предпосылки основной модели: 1) спрос равномерный и постоянный; 2) время поставки постоянно; 3) отсутствие запасов недопустимо; 4) каждый раз заказывается постоянное количество — оптимальный размер заказа.
Рассмотрим модель без дефицита
Суммарные издержки
(4.2)
где θ – время, в течение которого расходуется продукт
N – общее потребление
b – интенсивность расхода
-
затраты на доставку одной партии продукта
-
затраты на хранении одной единицы
продукта в единицу времени.
Количество
партий
(4.3)
Время
расхода партии
(4.4)
Решением этой оптимизационной задачи, т.е. минимизации суммарных издержек, будет значение наиболее экономичного объема партии
(4.5)
Минимальные затраты
(4.6)
Число оптимальных партий
(4.7)
Время расхода оптимальной партии
(4.8)
В модели с дефицитом в функцию суммарных затрат также добавляются затраты на штраф из-за дефицита
(4.9)
Где
-
время, в течение которого производится
потребление запаса
-
время, в течение которого накапливается
дефицит
-
штраф за дефицит в единицу времени на
каждую единицу продукта
s – размер запаса
n – объем партии.
Решением этой оптимизационной задачи будет значение наиболее экономичного объема партии
(4.10)
и максимального уровня запаса
(4.11)
Суммарные
затраты рассчитываются путем подстановки
оптимальных значений
и
в формулу 4.9, число оптимальных партий
- путем подстановки оптимального
в формулу 4.3, время
расхода оптимальной партии - путем
подстановки оптимального
в формулу 4.4.
Пример. Годовой спрос 1500 единиц, стоимость подачи заказа 150 рублей/заказ, издержки хранения одной единицы 45 рублей/год, время доставки 6 дней, 1 год = 300 рабочих дней. Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень повторного заказа.
Порядок выполнения задания:
Оптимальный
размер заказа
Минимальные
издержки
Число
оптимальных партий
За
300 рабочих дней реализуется 1500 единиц,
за 6 дней доставки - x единиц.
.
Отсюда x = 30 единиц. Каждый раз, когда на
складе остается 30 единиц, подается заказ
на 100 единиц.
Расстояние
между циклами
.
Задачи для самостоятельного решения
Решить транспортную задачу - исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху – мощности потребителей. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана, используя Поиск решения.
|
Вариант 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
150 |
40 |
110 |
50 |
||||||||||||||||||||||
|
70 |
9 |
5 |
10 |
7 |
||||||||||||||||||||||
|
80 |
11 |
8 |
9 |
6 |
||||||||||||||||||||||
|
90 |
7 |
6 |
5 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
110 |
6 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
Вариант 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 |
10 |
20 |
30 |
15 |
|||||||||||||||||||||
|
40 |
5 |
3 |
4 |
6 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
20 |
3 |
4 |
10 |
5 |
7 |
|||||||||||||||||||||
|
40 |
4 |
6 |
9 |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
100 |
140 |
100 |
60 |
||||||||||||||||||||||
|
100 |
5 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
60 |
2 |
3 |
5 |
6 |
||||||||||||||||||||||
|
80 |
3 |
2 |
4 |
3 |
||||||||||||||||||||||
|
160 |
4 |
1 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
Вариант 4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
150 |
350 |
200 |
100 |
100 |
|||||||||||||||||||||
|
500 |
3 |
3 |
5 |
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
300 |
4 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|||||||||||||||||||||
|
100 |
3 |
7 |
5 |
4 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 5 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
60 |
40 |
120 |
100 |
||||||||||||||||||||||
|
70 |
4 |
8 |
1 |
6 |
||||||||||||||||||||||
|
80 |
3 |
5 |
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
90 |
2 |
6 |
4 |
3 |
||||||||||||||||||||||
|
Вариант 6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
40 |
30 |
90 |
80 |
50 |
|||||||||||||||||||||
|
60 |
4 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
90 |
2 |
4 |
3 |
5 |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
140 |
6 |
5 |
4 |
6 |
2
|
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 7 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
9 |
13 |
8 |
12 |
|||||||||||||||||||||
|
9 |
5 |
15 |
3 |
6 |
10 |
|||||||||||||||||||||
|
11 |
23 |
8 |
13 |
27 |
12 |
|||||||||||||||||||||
|
14 |
30 |
1 |
5 |
24 |
25 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 8 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
40 |
30 |
20 |
50 |
||||||||||||||||||||||
|
60 |
2 |
4 |
5 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
70 |
2 |
3 |
9 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
50 |
8 |
4 |
2 |
5 |
||||||||||||||||||||||
|
Вариант 9 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
11 |
11 |
16 |
11 |
|||||||||||||||||||||
|
15 |
3 |
4 |
5 |
15 |
24 |
|||||||||||||||||||||
|
15 |
19 |
2 |
22 |
4 |
13 |
|||||||||||||||||||||
|
15 |
20 |
27 |
1 |
17 |
19 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 10 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
7 |
7 |
7 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
4 |
16 |
30 |
17 |
10 |
16 |
|||||||||||||||||||||
|
6 |
20 |
27 |
26 |
9 |
23 |
|||||||||||||||||||||
|
10 |
13 |
4 |
22 |
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
10 |
3 |
1 |
5 |
4 |
24 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 11 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
120 |
80 |
160 |
90 |
50 |
|||||||||||||||||||||
|
180 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
220 |
6 |
3 |
4 |
5 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
100 |
8 |
2 |
1 |
9 |
3 |
|||||||||||||||||||||
|
Вариант 12 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
700 |
500 |
450 |
560 |
320 |
|||||||||||||||||||||
|
550 |
40 |
20 |
60 |
10 |
20 |
|||||||||||||||||||||
|
615 |
10 |
80 |
30 |
40 |
30 |
|||||||||||||||||||||
|
400 |
70 |
30 |
30 |
50 |
10 |
|||||||||||||||||||||
|
780 |
50 |
10 |
40 |
50 |
40 |
|||||||||||||||||||||
Решить задачу управления запасами
Вариант 13
4.1.Ежедневный спрос на некоторый продукт составляет 100 ед. Затраты на приобретение каждой партии этого продукта, не зависимые от объема партии, равны 100 д.ед., а затраты на хранение единицы продукта- 0,02 д.ед в сутки. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками партий такого объема.
Вариант 14
4.2.Решить задачу 4.1. при условии, что возможен дефицит. Штраф за дефицит составляет 2 д.ед в единицу времени.
Вариант 15
4.3. Годовой спрос 400 ед, стоимость подачи заказа 40 руб./заказ, издержки хранения одной единицы 250 руб/год, время доставки 6 дней, 1 год – 250 рабочих дней. Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень повторного заказа, число партий за год, расстояние между циклами.
Вариант 16
4.4. Годовой спрос 1400 ед, стоимость подачи заказа 160 руб./заказ, издержки хранения одной единицы 50 руб/год, время доставки 6 дней, 1 год – 250 рабочих дней. Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень повторного заказа, число партий за год, расстояние между циклами.
Вариант 17
4.5. Определить как изменятся издержки в задаче 4.3, если D=350 ед, стоимость подачи заказа С0=45 руб./заказ, издержки хранения одной единицы Ск = 260 руб/год, время доставки 6 дней, 1 год – 250 рабочих дней.
Вариант 18
4.6. Предприятие должно поставить заказчику 12000 деталей в год. Заказчик не имеет склада. Требуемые детали расходуются с постоянной интенсивностью. Дефицит деталей не допускается. Предприятие может изготовить все 12000 изделий в начале года, а затем отпускать эти изделия со склада равномерно в течение года. Оно может также выпускать продукцию несколько раз в год партиями меньшего объема. За счет этого уменьшается стоимость хранения запасов. Но увеличиваются затраты на оформление заказа.
Определить оптимальное число производственных периодов, если известно, что стоимость оформления заказа равна 500 д.ед., а стоимость хранения – 0,3 д.ед на одно изделие в единицу времени (в месяц).
Вариант 19
4.7. Рассмотреть задачу 4.6, считая возможным дефицит. Стоимость нехватки одной детали за единицу времени составляет 1 д.ед. (единица времени – месяц)
Вариант 20
4.8. Один из цехов кондитерской фабрики каждые сутки должен подавать несколько заказов на поставку патоки для приготовления карамели. Каждый заказ поступает как одна партия, причем в доставке патоки возможны перебои. Патока расходуется равномерно (с постоянной интенсивностью). Суточная потребность цеха – 1 т патоки. Затраты на подготовительные операции для выполнения каждого из заказов 10 д.ед. Стоимость хранения1 кг патоки 1 д.ед в час. Отсутствие патоки приводит к убытку 2 д.ед на каждый недостающий килограмм патоки в час. Найти оптимальный объем партии (средние затраты) и максимальный уровень запасов, предполагая, что дефицит можно погасить мгновенно.
Вариант 21
4.9. Производство товаров широкого потребления в течение некоторого промежутка времени происходит одновременно с удовлетворением спроса. Затем выпуск продукции прекращается, а запасы расходуются с той же интенсивностью, что и в производственный период. Как только уровень запасов станет равным 0, мгновенно начинается следующий производственный период.
В течение года интенсивность потребления товара постоянна и равна 1000 ед в месяц, а интенсивность производства 3000 ед. в месяц. Стоимость подготовительных операций для каждого производственного периода 500 д.ед. Стоимость хранения 1 ед. товара в месяц – 3 д.ед. Определить оптимальную длительность производственного периода (минимизировать затраты).
Вариант 22
4.10. Отдел текстильных товаров магазина продает 500 штук купальных полотенец. Стоимость заказа одной партии составляет 2 д.ед. Стоимость хранения одного полотенца в месяц 0,34 д.ед. Считая, что спрос неслучаен и дефицит не допускается, определите оптимальный размер заказа. Чему равно время между моментами подачи заказов на пополнение? Время поставки составляет один месяц. Чему равна точка заказа, подсчитанная по уровню наличного запаса?
Вариант 23
4.11. Решить задачу 4.10 при условии дефицита. Штраф за дефицит за единицу времени составляет 3 д.ед. (единица времени – месяц)
Вариант 24
4.12. Решить задачу 4.8, допуская наличие дефицита. Штраф за дефицит за единицу времени составляет 2 д.ед.
Вариант 25
4.13. Годовой спрос 1000 ед, стоимость подачи заказа 120 руб./заказ, издержки хранения одной единицы 50 руб/год, время доставки 5 дней, 1 год – 250 рабочих дней. Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень повторного заказа, число партий за год, расстояние между циклами.