![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Рецензенты:
- •Содержание
- •Предисловие
- •Учебно-тематический план
- •Разработки занятий Лабораторное занятие №1 Тема занятия «Определение и способы задания функции. Элементарные функции»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Найдите область определения функции:
- •3. Исследуйте функции на четность:
- •Определите нули и промежутки знакопостоянства функции:
- •Выделите промежутки, на которых существуют обратные функции для функции и найдите их.
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •7. Вычислите односторонние пределы:
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Лабораторное занятие №3 Тема занятия «Понятие производной. Правила дифференцирования»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Лабораторное занятие №5 Тема занятия «Первообразная функция, неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Лабораторное занятие №6 Тема занятия «Понятие определенного интеграла. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Лабораторное занятие №8 Тема занятия «Контрольная работа №1»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •II. Вопросы для подготовки к коллоквиуму №1 Тема «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Лабораторное занятие №12 Тема занятия «Контрольная работа №2»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Лабораторное занятие №13 Тема занятия «Оценка параметров генеральной совокупности по случайной выборке»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Примеры решения типовых задач
- •Лабораторное занятие №14 Тема занятия «Определение параметров эмпирических формул. Точность и надежность оценки. Метод наименьших квадратов. Построение нормальной кривой по опытным данным»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Лабораторное занятие №15 Тема занятия «Линейная регрессия. Коэффициент корреляции»
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Примеры решения типовых задач
-
Найдите интервалы возрастания и убывания функции
Решение.
Функция
определена в интервале
Ее производная
причем
при
и
при
Отсюда следует, что функция
убывает в интервале
и возрастает в интервале
-
Найдите экстремум функций:
а)
б)
Решение. Согласно правилу исследования функции на экстремум:
-
находим производную:
.
-
находим критические точки, т.е. внутренние точки области определения функции, в которых
или не существует. Полагая,
, получим,
Производная
не существует в точках
и
Однако критическими точками являются только точки
и
: они лежат внутри области определения функции
, и в них эта функция непрерывна. Точки
и
не являются критическими, т.к. не лежат внутри области определения функции;
-
исследуем критические точки, определяя знак
слева и справа от каждой критической точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записывать в виде следующей таблицы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения критическими точками разбиваем на промежутки и заносим эти промежутки и критические точки в первую строку таблицы. Во второй строке помещены знаки производной на каждом из промежутков, которые определяем с помощью любой точки из исследуемого промежутка или применяя метод интервалов. В третьей строке – заключение о поведении функции.
а) Исследуемая функция имеет две точки экстремума:
точку минимума,
где
точку максимума
где
Исследование на экстремум можно было бы провести и с помощью второй производной.
б)
Проведем исследование на экстремум с
помощью второй производной. Для этого
найдем вторую производную и определим
ее знак в критических точках:
отсюда
следует, что
и
- критические точки.
Находим,
,
следовательно,
- точка максимума, где
,
следовательно,
точка минимума, где
3.
Найдите наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
Решение.
-
Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка
:
не существует при
,
но
Таким
образом, данная функция имеет одну
критическую точку
,
и эта точка лежит внутри отрезка
.
-
Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка
:
.
-
Сравнивая все вычисленные значения, выбираем наибольшее и наименьшее:
.
4.
Одна сторона прямоугольного участка
земли примыкает к берегу канала, а три
другие огораживаются забором. Каковы
должны быть размеры этого участка, чтобы
его площадь равнялась
,
а длина забора была наименьшей?
Решение. Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наименьшее значение полученной функции.
Пусть ширина
участка -
м,
длина -
м, длина
забора
м. Выберем
за независимую переменную
- ширину участка. Так как площадь участка
,
т.е.
,
то отсюда
.
Выразим
,
как функция от
:
,
где
канал
Найдем наименьшее
значение
на интервале
.
Найдем критические точки:
в точках
и
,
но только
и других критических точек в этом
интервале нет, т.к. ее производная
существует во всем этом интервале.
Исследуем найденную критическую точку
по знаку второй производной в этой
точке:
отсюда
следует, что критическая точка
есть точка минимума.
Функция
непрерывна в интервале
.
Поэтому по свойству непрерывных функций
единственный минимум функции
в интервале
совпадает с ее наименьшим значением в
этом интервале, т.е.
Следовательно,
длина забора будет наименьшей при ширине
участка
и длине участка
.
5.
Найдите точки перегиба и интервалы
выпуклости и вогнутости функции
Решение.
1.
Ищем точки
,
в которых
или не существует, и которые лежат в
области определения функции:
ни при каких
;
не существует при
2.
Исследуем точку
на перегиб, определяя знак
слева и справа от нее. Запишем это
исследование в таблицу:
-
0
+
0
-
2
перегиб
Таким
образом,
-
абсцисса точки перегиба кривой:
Эта кривая в интервале
вогнута, а в интервале
- выпукла.
6. Найдите асимптоты следующих функций:
а)
б)
Решение.
а)
Область определения данной функции:
Отсюда следует, что
- вертикальная асимптота, т.к.
и
.
Наклонные (невертикальные) асимптоты определяем из условий:
где
и
Таким
образом,
- наклонная асимптота.
б)
,
следовательно,
- вертикальная асимптота, так как
,
Следовательно,
-
наклонная асимптота.
7.
Исследуйте функцию
и постройте ее график.
Решение.
1.
Найдем область определения:
.
2. Исследуем функцию на четность: так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3.
Исследуем функцию на периодичность:
ни для какого
,
кроме
,
следовательно, функция не является
периодической.
4.
Точки разрыва:
.
Определим
поведение функции вблизи точки разрыва
слева и справа:
и
.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
С
осью
:
полагаем
,
тогда
,
имеем точку
.
С
осью
:
полагаем
,
тогда
,
т.е.
,
имеем точку
.
6.
Разбиваем область определения функции
точкой пересечения с осью
на промежутки. Определим интервалы
знакопостоянства функции. Результаты
занесем в таблицу:
-
0
-
0
+
+
7. Исследуем поведение функции на бесконечности:
.
8. Найдем асимптоты графика функции:
- вертикальная
асимптота, так как
Наклонную
асимптоту ищем в виде
,
где
.
Таким
образом, наклонная асимптота превратилась
в горизонтальную
.
9. Исследуем функцию на возрастание – убывание и экстремумы.
Найдем первую производную:
Далее
ищем критические точки: так как производная
данной функции существует везде в
области определения функции, то
критические точки определяются только
из условия
- критическая точка.
Критическая точка разбивает область определения функции на промежутки:
Определяем знак производной на каждом из промежутков, результаты заносим в таблицу и делаем вывод о поведении функции и существовании экстремумов.
-
-3
-
0
+
-
min
10. Исследуем функцию на выпуклость-вогнутость и перегибы. Найдем вторую производную:
Ищем
точки, принадлежащие области определения,
в которых
или не существует. Так как вторая
производная существует везде в области
определения, то учитываем только условие
Эта точка разбивает область определения на промежутки:
Определяем знак второй производной на каждом промежутке, результаты заносим в таблицу. Делаем выводы о выпуклости-вогнутости функции в точках перегиба:
-
-6
-
0
+
+
перегиб
11.
С помощью проведенного исследования
по полученным данным строим график
данной функции
.
Сделайте рисунок самостоятельно в
тетради.