2.4. Растяжение и сжатие. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений

Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения.

Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления самолетом и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 2.4).

1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.

2. Методом сечений на каждом участке определяем продольные силы N₁ и N₂, начиная со свободного конца. Во всех точках поперечного сечения бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса.

Σ Z = - N₁ + 3F = 0, N₁ = 3F.

Рис. 2.4

Аналогично находим продольную силу N₂: Σ Z =- N₂ -2F + 3F = 0, N₂ = F.

В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле:

σ = (2.5)

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (рис. 2.4).

Условие прочности при растяжении - сжатии:

_max = < [σ ] (2.6)

Три задачи, решаемые из условия прочности:

1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал F =N < A [ σ ]

2. Проектный расчет - определение размеров поперечного сечения, если известна нагрузка и материал A >

3. Проверка прочности σ_max < [ σ ].

Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635-1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: н о р м а л ь н о е н а п р я ж е н и е

п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о о т н о с и т е л ь н о м у у д л и н е н и ю или у к о р о ч е н и ю.

Математически закон можно записать в виде равенства:

σ = E ε . (2.7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах:

E = σ / ε (MПа).

Значения E, МПа, для некоторых материалов:

Чугун ...............(1,5...1,6) 10⁵

Сталь................(1,96...2,1) 10⁵

Сплавы алюминия......(0,69...0,71) 10⁵

Титановые сплавы…..1,1 10⁵

Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации и нормального напряжения , то абсолютная продольная деформация

. (2.8)

Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: а б с о л ю т н о е у д л и н е н и е или у к о р о ч е н и е п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о п р о-

д о л ь н о й с и л е, д л и н е и о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н о ж е с т к о с т и с е ч е н и я б р у с а.

l = l₁ - l

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Δ l = Σ (Δ l_i).

При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b₁ . Абсолютное сужение Δb = b – b₁.

Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией

ε' = Δb/ b

Р ис. 2.5

Опытами французского ученого Пуассона (1781-1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона μ =.

Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: Сталь – 0,24...0,30; Ал. сплавы – 0,3…0,35