1.2.2 Применение теории графов в моделировании сис

В процессе эволюции СИС может быть представлена как ориентированный граф , где - некоторый профиль пользователя (пользователь СИС), а любое ребро графа имеет временную метку . Отсюда, отображает определенный момент времени, когда была добавлена вершина или ребро в граф в некоторый момент времени существует граф , который содержит все вершины и ребра, добавленные к моменту времени . Такое представление СИС позволяет отследить эволюционные процессы, происходящие в ней.

В графе СИС выделяют три типа пользователей:

• пользователи, у которых больше всего прямых связей, чаще всего это лидеры СИС, имеющие большое влияние на других пользователей и являются активными распространителями информации;

• субъекты, связывающие людей из различных подгрупп, которые между собой никак не пересекаются и быстрее всех других участников СИС распространяют информацию среди друзей;

• субъекты, которые не хотят или не могут заводить больше связей, чем у них есть, поэтому распространение ими информации идет медленно и охватывает небольшие группы пользователей.

Большинство взаимных связей устанавливаются в относительно короткое время (в течение приблизительно одного дня). Отсюда, при описании СИС можно использовать неориентированный граф.

Рассмотрим неориентированный граф, пусть - путь между парой вершин графа (среднее кратчайшей расстояние), тогда

где - длина пути от точки до точки .

Более точный способ вычислить как среднее кратчайшее гармоническое расстояние между парами вершин, в таком случае будет справедливо выражение:

В выражении все бесконечные значения никак не повлияют на результат, так будет равно нулю [90, 91].

В вышеуказанном контексте существование «эффекта малого мира» означает, что распространение в сети подобной реальному миру будет зависеть от значения , и чем оно меньше, тем быстрее процесс распространения по всей сети. Сейчас «эффект малого мира» наблюдается, если значение изменяется с логарифмической зависимостью , или медленнее.

Свойство транзитивности в виртуальных СИС иногда также называют кластеризацией. Если в графе точка взаимодействует с точкой , и точка взаимодействует с точкой , то существует высокая вероятность, что точка взаимодействует с точкой . Другими словами: «друг твоего друга – твой друг». Отсюда появляется возможность разделить сеть на дизъюнктные группы таким образом, чтобы было много ребер внутри групп и мало ребер между группами.

Транзитивность может быть определена как коэффициент кластеризации.

где: - количество «треугольников» графа;

- количество «вилок» графа.

Возможно вычисление коэффициента кластеризации через усреднение по вершинам, в этом случае:

где: - количество «треугольников» с вершиной ;

- число «вилок», центром которых является вершина .

Отсюда коэффициент кластеризации для всей сети равен:

Транзитивность неориентированного графа может быть также количественно оценена с помощью коэффициента кластеризации, посчитанного относительно единичной вершины. Рассмотрим некоторую вершину , со степенью вершины , обозначим как число ребер между вершинами соседними с . Тогда, коэффициент кластеризации вершины определяется как отношение числа к его максимально возможному значению .

Фактически кластеризация способствует идентификации групп субъектов СИС.

Степень вершины графа, характеризуется функцией , которая определяет вероятность того, что случайно выбранная вершина будет иметь ровно ребер.

Если в графе ребра распределяются случайным образом, большая часть вершин имеет приблизительно одинаковую степень, близкую к средней степени сети. Степени вершины случайного графа нередко подчиняются распределением Пуассона с пиком в

где: – некоторый параметр распределения, являющийся константой

– степень;

Однако для современных СИС, распределение степеней вершин является степенным. Такие сети называют сетями без масштабирования (безмасштабные сети)

где: – константа;

– дзета-функция Римана [29], которая служит, чтобы выполнялось равенство .

Эффект «предпочтительного связывания» наблюдается, когда есть ребра, которые «чаще» соединяют вершины внутри одного типа, чем между разными типами.

Если – доля ребер между типами и в множестве всех ребер сети (, , где - число вершин в сети), то условную вероятность того, что мой друг представляет класс , при условии, что я сам представляю класс , можно выразить следующим образом

Откуда эффект «предпочтительного связывания» можно измерить коэффициентом

Где деление на необходимо для нормировки коэффициента

Этот коэффициент также способствует выявлению групп субъектов СИС на основе теории графов.