5 Построение областей устойчивости

Для выделения областей устойчивости в пространстве параметров системы, описываемой уравнением любого порядка, в соответствии с условием устойчивости по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы имели отрицательные вещественные части. Область устойчивости находится в левой полуплоскости относительно мнимой оси.

Для построения областей устойчивости методом Д-разбиения по коэффициенту усиления системы K запишем характеристическое уравнение замкнутой системы, выделив коэффициент K:

,

где - коэффициент усиления замкнутой системы.

Произведем замену: S  j, тогда характеристическое уравнение будет выглядеть следующим образом:

Координаты характерных точек сведем в таблицу 3. График области устойчивости представлен на рисунке 3.

Таблица 3 – Данные для построения границы Д-разбиения

	0	1,1162	3,3663	10,9035
R()	-1	0	7,322	0
I()	0	-1,58	0	164,544

Рисунок 3 – Кривая D-разбиения

На основании полученной кривой Д-разбиения устанавливаем, что данная система будет устойчива при любом значении коэффициента усиления K в пределах от до 7,322. Значение K=7,322 называется критическим коэффициентом усиления.

6. Практическая часть

   0. 6.1 Моделирование в системе мвту

Сформируем структурную схему заданной системы управления в системе МВТУ и представим её на рисунке 4.

Рисунок 4 – Структурная схема

6.2 Оценка устойчивости по кривой переходного процесса

Задаём параметры блоков в соответствии с заданием и проведенными ранее расчетами на структурной схеме (коэффициенты усиления, постоянные времени, начальные условия и т.д.). Добавляем в структурную схему блок «Временный график» из линейки «Данные». Структурная схема с внесенными изменениями представлена на рисунке 5. Запускаем задачу на счет и получаем график переходного процесса при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия. Данный график представлен на рисунке 6.

Рисунок 5 – Структурная схема с внесенными изменениями

Рисунок 6 – График переходного процесса

По графику переходного процесса видно, что система устойчива, так как с увеличением времени величина переходной функции стремится к определенному установившемуся значению. Оценка качества системы по виду кривой переходного процесса производится при помощи прямых показателей качества: перерегулирования, допустимого числа колебаний и времени переходного процесса.

Перерегулирование определяет запас устойчивости системы по степени удаления от колебательной границы устойчивости, то есть максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в процентах. Используя численные значения параметров полученного графика произведем расчет.

Перерегулирование системы составляет 2,7%. Для большинства систем запас устойчивости считается достаточным, если σ ≤ (10-30)%. Можно сделать вывод, что система обладает хорошим запасом устойчивости. Об этом свидетельствует и наблюдаемое по графику отсутствие колебаний. Время переходного процесса составляет 5,4 секунды.