3 Оценка устойчивости по критерию Гурвица

Согласно определения критерия Гурвица: система устойчива, если определитель характеристического уравнения передаточной функции, составленный по закону Гурвица положителен, и положительны все его диагональные миноры.

Для нахождения характеристического уравнения находим передаточную функцию всей системы. Для этого находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии. Так как элементы разомкнутой системы соединены последовательно, то W_РАЗ(s) равна произведению передаточных функций элементов:

;

;

Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

;

Характеристическое уравнение передаточной функции:

Cоставляем определитель по правилу Гурвица:

минор 3-го порядка имеет вид:

минор 2-го порядка имеет вид:

минор 1-го порядка имеет вид:

Определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны. Можно сделать вывод, что система устойчива.

4 Оценка устойчивости по критерию Михайлова

По определению критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении угловой частоты  от нуля до бесконечности, годограф, описываемый концом вектора начинался на вещественной положительной полуоси, и, вращаясь только против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль, проходил, повернувшись на угол n/2, последовательно число квадрантов, равное степени n характеристического уравнения. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то система не устойчива.

В характеристическом уравнении сделаем замену: S  j, тогда полином в знаменателе будет выглядеть следующим образом:

Выделим вещественную и мнимую части:

Д ействительная часть:

М нимая часть:

Годограф Михайлова – это кривая, которая опишет в комплексной плоскости конец вектора при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности. Годограф Михайлова начинается на вещественной оси при  = 0 в точке R(0)=1,4125 и I(0)=0. Для построения годографа необходимо задаваться значениями _i и отмечать на комплексной плоскости соответствующие точки. Координаты характерных точек сведены в таблицу 2. Годограф Михайлова представлен на рисунке 2.

Таблица 2 – Данные для построения годографа Михайлова

	0	1,3296	3,366	10,879
R()	1,4125	0	-6,908	0	+
I()	0	1,784	0	-163,36	-

Рисунок 2 – Годограф Михайлова

Вывод: система устойчива по критерию Михайлова, так как годограф Михайлова, описываемый концом вектора , начинается на вещественной полуоси и, вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит, повернувшись на угол 2, число квадрантов, равное 4.