Тема 4. Поняття про статистику та її методи

Предмет математичної статистики полягає в розробці методів збору та обробки статистичних даних для одержання наукових та практичних висновків.

Вкажемо основні задачі, які розв'язує математична статистика:

1. вказати способи збору та групування (якщо даних дуже багато) статистичних відомостей;

2. визначити закон розподілу випадкової величини або системи випадкових величин за статистичними даними;

3. визначити невідомі параметри розподілу;

4) перевірити правдоподібність припущень про закон розподілу випадкової величини, про форму зв'язку між випадковими величинами або про значення параметра, який оцінюють.

Можна сказати, що основна задача математичної статистики - розробка методів аналізу статистичних даних в залежності від мети дослідження.

Методи математичної статистики ефективно використовують при розв'язанні багатьох задач науки, організації технологічного процесу, планування, управління та ціноутворення.

Нехай потрібно вивчити сукупність об'єктів відносно деякої якісної або кількісної ознаки, які характеризують ці об'єкти. Кожен об'єкт, який спостерігають, має декілька ознак. Розглядаючи лише одну ознаку кожного об'єкта, ми припускаємо, що інші ознаки рівноправні, або що множина об'єктів однорідна.

Такі множини однорідних об'єктів називають статистичною сукупністю.

Наприклад, якщо досліджують партію деталей, то якісною ознакою може бути стандартність або нестандартність кожної деталі, а кількісною ознакою - розмір деталі. Кількісні ознаки бувають неперервними та дискретними.

Перевірку сукупності деталей можна провести двома способами:

1. провести перевірку (контроль) усіх деталей;

2. перевірити лише певну частину деталей.

Якщо деталей дуже багато або перевірка пов'язана з руйнуванням деталі (наприклад, випробування деталі на міцність), тоді перший спосіб перевірки не доцільний. Якщо дослідити усі деталі неможливо, тоді відбирають із усієї сукупності обмежене число деталей і перевіряють лише їх.

Вибірковою сукупністю (вибіркою) називають сукупність випадково взятих об'єктів.

Генеральною називають сукупність об'єктів, з яких зроблено вибірку.

Об'ємом сукупності (вибіркової або генеральної) називають кількість об'єктів цієї сукупності.

Наприклад, якщо з 5000 виробів для дослідження взято 50, тоді об'єм генеральної сукупності N=5000, а об'єм вибірки п=50

Наведемо приклади вибірок.

Первинним результатом статичного спостереження є перелік членів сукупності та відповідних їм значень ознаки.

Приклад 1.

Спостерігають величину врожаю пшениці на 10 дослідницьких ділянках. Результати спостережень представлені у Таблиці 1 (ознака і N-номер ділянки, ознака X - врожай у центнерах з га)

Таке зведення називають рядом варіант або простим статистичним рядом.

Вибірки бувають повторні та безповторні. Повторною називають вибірку, при якій відібраний об'єкт повертається до генеральної сукупності перед відбором іншого об'єкта. Вибірку називають безповторною, якщо взятий об'єкт до генеральної сукупності не повертається. Найчастіше використовують безповторні вибірки.

Альтернативою вибірки є перепис. Переписами називають обстеження, що мають своєю метою дослідження кожного елементу сукупності (генеральної сукупності), що вивчається.

Зразками перепису є перепис населення у країні, звіт про виробничі показники усіх підприємств у галузі (наприклад, шахт вугільної промисловості).

Перевага вивчення вибірки порівняно з переписом: малі затрати коштів, обладнання та часу.

Вибірку можна ефективно використовувати для вивчення відповідної ознаки генеральної сукупності лише тоді, коли дані вибірки вірно відображають цю ознаку. Коротко ця умова формулюється таким чином - вибірка повинна бути репрезентативною, тобто представницькою.

Згідно із законом великих чисел теорії імовірностей можна стверджувати, що вибірка буде репрезентативною лише тоді, коли її здійснюють випадково.

В більшості випадків для математичної статистики найбільш підхожим засобом здійснення випадкового відбору є простий випадковий.

Означення 1. Простим випадковим є такий відбір з генеральної сукупності, при якому кожний об'єкт що витягається, має однакову імовірність потрапити де вибірки.

Вибірка, що здійснена за допомогою простого випадкового відбору, називається простою випадковою.

Варто відмітити, що альтернативою для простої випадкової вибірки у статистиці є розшарована випадкова вибірка.