Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
законспектувати 2 курс.docx
Скачиваний:
29
Добавлен:
24.11.2018
Размер:
96.15 Кб
Скачать

Тема 1. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу

При дослідженні багатьох проблем виникають такі випадкові події, наслідком яких є поява деякого числа, заздалегідь невідомого. Тому такі числові значення - випадкові.

Прикладом такої події є: кількість очок, що випадає при киданні грального кубика; кількість студентів, які прийдуть на лекцію; кількість цукрового буряка, який чекають одержати з одного гектара.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в наслідок випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Випадкові величини доцільно позначати великими літерами X, У, Z, а їх можливі значення - відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,

X: х12,…,хп; Z: z1, z2,…,zm.

Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.

Означення 1. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями.

Приклад 1. Кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде X : 0,1,2,3. Отже, X може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому X - дискретна випадкова величина.

Кількість викликів таксі Y на диспетчерському пункті також буде дискретною випадковою величиною, але при t значення Y також зростають, тобто їх кількість прямує до нескінченності Y : 0,1,2,...,п,…

Означення 2. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а,b). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.

Приклад 2. Величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.

Приклад 3. Розглянемо випадкові величини: кількість очок, X та У, що можуть з'явитись при киданні правильного грального кубика та неправильного грального кубика. їх можливі значення

X: 1,2,3,4,5,6; Y: 1,2,3,4,5,6

однакові.

Імовірність появи будь-якого значення xk дорівнює , однакова для усіх можливих значень X, а імовірності появи можливих значень Y будуть різними. Отже, випадкові величини X та Y не рівні тому, що при хk=yk маємо , k=1,2,3,4,5,6.

Таким чином, для повної характеристики випадкової величини треба вказати не тільки усі її можливі значення, але й закон, за яким знаходять імовірності кожного значення

Рk=Р(Х=хk)=f(хk) або Р(Х)=f(x).

Означення 3. Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величина і відповідними їм ймовірностями.

У випадку дискретної випадкової величини X функціональну залежність можна задавати таблично, аналітично або графічно.

Способи задання дискретних випадкових величин

Нехай випадкова дискретна величина X приймає значення х1, х2,...,хп з відповідними ймовірностями р1, р2,…,рп.

Задати закон розподілу такої випадкової величини - це задати рівність , яку можна розглядати як функцію.

Тому закон розподілу Х можна задати аналітично, таблично, графічно.

Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд

Найбільш часто використовують табличний спосіб задання ДВВ, який називають рядом розподілу і зображують у вигляді

У першому рядку записані усі можливі значення X, а у другому рядку - відповідні імовірності, які мають властивість

Приклад 1. Умовами лотереї передбачено: один виграш - 100 гривень, два - 50 гривень, вісім - 10 гривень, дев’ятнадцять -1 гривня. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів.

Розв'язання. Будемо шукати закон розподілу суми виграшу X у вигляді ряду розподілу. Тоді

де р(0)=1-(0.001+0.002+0.008+0.019)=1-0.03=0.97.

Зауваження 1. Якщо випадкова дискретна величина може приймати нескінчену кількість значень, то її ряд розподілу (таблиця) буде мати нескінчену кількість елементів у кожному рядку.

Графічний спосіб. Візьмемо прямокутну систему координат. На осі абсцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат - відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами 11), (х22),…,пп).

Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік (дивись Мал.) у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.

Значення ДВВ, імовірність якого найбільша, називають модою. На Малюнку мода – х3.

Медіаною ДВВ Х називають таке значення ДВВ, в якому функція розподілу F(x)=.

Аналітичний спосіб задання випадкової дискретної величини базується на заданні певної функції, за якою можна знайти імовірність р відповідного значення Хk, тобто , k=1,2,...,п.