- •Тема 1. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу
- •Способи задання дискретних випадкових величин
- •Тема 2. Числові характеристики дискретних випадкових величин та їх властивості
- •Математичне сподівання та його основні властивості.
- •Основні властивості математичного сподівання
- •1) Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній
- •2) Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання
- •3) Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто
- •4) Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто
- •Дисперсія та її властивості.
- •Основні властивості d(X).
- •Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.
- •Тема 3. Уявлення про закон великих чисел
- •Тема 4. Поняття про статистику та її методи
- •Джерела даних у статистиці
Тема 1. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу
При дослідженні багатьох проблем виникають такі випадкові події, наслідком яких є поява деякого числа, заздалегідь невідомого. Тому такі числові значення - випадкові.
Прикладом такої події є: кількість очок, що випадає при киданні грального кубика; кількість студентів, які прийдуть на лекцію; кількість цукрового буряка, який чекають одержати з одного гектара.
Випадковою величиною називають таку величину, яка в наслідок випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.
Випадкові величини доцільно позначати великими літерами X, У, Z, а їх можливі значення - відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,
X: х1,х2,…,хп; Z: z1, z2,…,zm.
Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.
Означення 1. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями.
Приклад 1. Кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде X : 0,1,2,3. Отже, X може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому X - дискретна випадкова величина.
Кількість викликів таксі Y на диспетчерському пункті також буде дискретною випадковою величиною, але при t значення Y також зростають, тобто їх кількість прямує до нескінченності Y : 0,1,2,...,п,…
Означення 2. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а,b). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.
Приклад 2. Величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.
Приклад 3. Розглянемо випадкові величини: кількість очок, X та У, що можуть з'явитись при киданні правильного грального кубика та неправильного грального кубика. їх можливі значення
X: 1,2,3,4,5,6; Y: 1,2,3,4,5,6
однакові.
Імовірність появи будь-якого значення xk дорівнює , однакова для усіх можливих значень X, а імовірності появи можливих значень Y будуть різними. Отже, випадкові величини X та Y не рівні тому, що при хk=yk маємо , k=1,2,3,4,5,6.
Таким чином, для повної характеристики випадкової величини треба вказати не тільки усі її можливі значення, але й закон, за яким знаходять імовірності кожного значення
Рk=Р(Х=хk)=f(хk) або Р(Х)=f(x).
Означення 3. Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величина і відповідними їм ймовірностями.
У випадку дискретної випадкової величини X функціональну залежність можна задавати таблично, аналітично або графічно.
Способи задання дискретних випадкових величин
Нехай випадкова дискретна величина X приймає значення х1, х2,...,хп з відповідними ймовірностями р1, р2,…,рп.
Задати закон розподілу такої випадкової величини - це задати рівність , яку можна розглядати як функцію.
Тому закон розподілу Х можна задати аналітично, таблично, графічно.
Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд
Найбільш часто використовують табличний спосіб задання ДВВ, який називають рядом розподілу і зображують у вигляді
У першому рядку записані усі можливі значення X, а у другому рядку - відповідні імовірності, які мають властивість
Приклад 1. Умовами лотереї передбачено: один виграш - 100 гривень, два - 50 гривень, вісім - 10 гривень, дев’ятнадцять -1 гривня. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів.
Розв'язання. Будемо шукати закон розподілу суми виграшу X у вигляді ряду розподілу. Тоді
де р(0)=1-(0.001+0.002+0.008+0.019)=1-0.03=0.97.
Зауваження 1. Якщо випадкова дискретна величина може приймати нескінчену кількість значень, то її ряд розподілу (таблиця) буде мати нескінчену кількість елементів у кожному рядку.
Графічний спосіб. Візьмемо прямокутну систему координат. На осі абсцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат - відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами (х1,р1), (х2,р2),…,(хп,рп).
Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік (дивись Мал.) у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.
Значення ДВВ, імовірність якого найбільша, називають модою. На Малюнку мода – х3.
Медіаною ДВВ Х називають таке значення ДВВ, в якому функція розподілу F(x)=.
Аналітичний спосіб задання випадкової дискретної величини базується на заданні певної функції, за якою можна знайти імовірність р відповідного значення Хk, тобто , k=1,2,...,п.