Практическая работа № 2 Метод аналитической иерархии

Цель работы: Определение предпочтительности альтернатив.

Метод аналитической иерархии состоит из этапов:

1. Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.

2. Выполнение парных сравнений элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводят в числа при помощи специальной таблицы.

3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. При этом проверяют согласованность суждений ЛПР.

4. Определение наилучшей альтернативы.

5. Проверка согласованности суждений ЛПР.

Пример. Выбор ноутбука.

1. Структуризация

Необходимо выбрать ноутбук с максимальными техническими возможностями при минимальной цене из четырех предложенных: А, B, C, D. Тогда структура решаемой задачи может быть представлена в виде, показанном на рис. 2.1.

Числовые значения критериев для каждой альтернативы определены как А(54; 16; 200), В(42,5; 128; 160), С(29; 32; 80), D(23; 64; 40). В скобках критерии перечислены в следующем порядке: цена ноутбука K₁ (тыс. руб.), объем оперативной памяти K₂ (Мбайт), объем дисковой памяти, K₃ (Гбайт).

Pиc 2.1. Иерархическая схема проблемы выбора ноутбука

2. Парные сравнения

При парных сравнениях ЛПР использует шкалу словесных определений уровня важности, по которой каждому определению ставится в соответствие число (табл. 2.1).

Таблица 2.1. Шкала относительной важности

Уровень важности	Количественное значение
Равная важность Умеренное превосходство Существенное или сильное превосходство Значительное (большое) превосходство Очень большое превосходство	1 3 5 7 9

В табл. 2.2 проводят сравнение критериев, указанных в левом столбце с критериями, указанными в верхней строке. Результаты сравнения заносят в ячейки, расположенные на пересечении соответствующей строки и столбца. Значение менее предпочтительного сравнения обратно пропорционально значению более предпочтительного сравнения. Например, критерий «Цена» (K₁) существенно превосходит критерий «Объем оперативной памяти» (K₂) и умеренно превосходит критерий «Объем дисковой памяти» (K₃); критерий K₂ умеренно превосходит критерий K₃. При сравнении можно также использовать промежуточные четные целые числа.

На нижнем уровне иерархии сравнивают заданные альтернативы (конкретные площадки) по каждому критерию отдельно (табл. 2.3 – 2.5).

Таблица 2.2. Матрица сравнений для критериев

Критерий	K1	K2	K3	Среднее геометрическое	Вес критерия
K1	1	5	3	2,47	0,65
K2	1/5	1	3	0,85	0,22
K3	1/3	1/3	1	0,48	0,13

Таблица 2.3. Сравнение по критерию K₁

Альтернатива	А	В	С	D	Среднее геометрическое	Вес альтернативы
А	1	0,2	1/7	1/9	0,23	0,04
В	5	1	1/3	0,2	0,76	0,13
С	7	3	1	1/3	1,63	0,27
D	9	5	3	1	3,4	0,56

Таблица 2.4. Сравнение по критерию K₂

Альтернатива	А	В	С	D	Среднее геометрическое	Вес альтернативы
А	1	1/9	0,2	1/7	0,24	0,04
В	9	1	3	1	2,28	0,43
С	5	1/3	1	1	1,14	0,22
D	7	1	1	1	1,63	0,31

Таблица 2.5. Сравнение по критерию K₃

Альтернатива	А	В	С	D	Среднее геометрическое	Вес альтернативы
А	1	3	5	9	3,41	0,56
В	1/3	1	3	7	1,63	0,27
С	0,2	1/3	1	5	0,76	0,13
D	1/9	1/7	0,2	1	0,24	0,04

3. Вычисление весомости элементов иерархии

С помощью таблиц 2.2 – 2.5 рассчитывают коэффициенты весомости соответствующих элементов иерархии. Коэффициенты весомости критериев w_i определены формулой (2.1):

, (2.1)

где i – индекс критерия, v_i – результаты сравнения, k – число критериев.

Коэффициенты весомости альтернатив V_ij определены формулой (2.2):

, (2.2)

где n – число альтернатив, ji – индекс j-ой альтернативы по i-му критерию, v_ji – результаты сравнения.

Веса альтернатив V_j определены формулой (2.3):

, (2.3)

4. Определение наилучшей альтернативы

Приоритетность альтернативы определяют по формуле (2.3):

V(A) = 0,65  0,04 + 0,22  0,04 + 0,13  0,56 = 0,107;

V(B) = 0,65  0,13 + 0,22  0,43 + 0,13  0,27 = 0,212;

V(C) = 0,65  0,27 + 0,22  0,22 + 0,13  0,13 = 0,239;

V(D) = 0,65  0,56 + 0,22  0,31 + 0,13  0,04 = 0,441.

V(D) > V(C) > V(B) > V(A), значит D C B A и альтернатива D – наилучшая.

5. Проверка согласованности суждений ЛПР

При выполнении парных сравнений ЛПР может сделать ошибки. Одной из возможных ошибок является нарушение транзитивности: из а_ij а_jk, a_jk a_is может не следовать а_ij a_is (а_ij – элементы матрицы парных сравнений). Также возможны нарушения согласованности численных суждений: a_ij  a_jk ¹ a_ik.

Для обнаружения несогласованности суждений необходимо определить индекс согласованности парных сравнений:

5.1. В таблицах парных сравнений (табл. 2.2 – 2.5) суммируют элементы каждого столбца.

5.2. Сумму элементов каждого столбца умножают на соответствующие веса строк этой же таблицы. Полученные значения _max должны быть больше размерности матрицы (_max ³ k или _max ³ n).

_maxk = (1+1/5+1/3)  0,65 + (5 + 1 + 1/3)  0,22 + (3 + 3 + 1)  0,13 = 3,29;

_max1 = (1 + 5 + 7 + 9)  0,04 + (0,2 + 1 + 3 + 5)  0,13 +

+ (1/7 + 1/3 + 1 + 3)  0,27 + (1/9 + 0,2 + 1/3 + 1)  0,56 = 4,12;

_max2 = (1 + 9 + 5 + 7)  0,05 + (1/9 + 1 + 1/3 + 1)  0,43 +

+ (0,2 + 3 + 1 + 1)  0,22 + (1/7 + 1 + 1 + 1)  0,3 = 4,13;

_max3 = (1 + 1/3 + 0,2 + 1/9)  0,56 + (3 + 1 + 1/3 + 1/7)  0,27 +

+ (5 + 3 + 1 + 0,2)  0,13 + (9 + 7 + 5 +1)  0,04 = 4,16.

5.3. Для каждой таблицы находят индексы согласованности :

ИС_k = (3,29 – 3) / (3 – 1) = 0,147;

ИС₁ = (4,12 – 4) / (4 – 1) = 0,040;

ИС₂ = (4,13 – 4) / (4 – 1) = 0,044;

ИС₃ = (4,16 – 4) / (4 – 1) = 0,054.

5.4. Определяют среднее значение индекса согласованности R для симметричных матриц, заполненных случайным образом. Если, к примеру, размерность матрицы n составляет 1; 2; 3; 4; 5; 6, то случайная согласованность оценок R, соответственно, имеет вид 0,0; 0,16; 0,58; 0,90; 1,12; 1,24.

5.5. Вычисляют отношение согласованности ОС = ИС / R:

ОС_k = 0,147 / 0,58 = 0,254;

ОС₁ = 0,040 / 0,9 = 0,045;

ОС₂ = 0,044 / 0,9 = 0,049;

ОС₃ = 0,054 / 0,9 = 0,059.

Желательным считают уровень ОС  0,2. Так как значение ОС_k превышает этот уровень, рекомендуется провести сравнения заново.

5.6. Согласованность всей иерархии определяют суммированием произведений каждого индекса согласованности на приоритет соответствующего критерия; полученный результат делят на значение индекса согласованности, соответствующее размеру матрицы критериев:

.

В нашем примере (0,040  0,65 + 0,044  0,22 + 0,054  0,13) / 0,58 = 0,043, то есть вся иерархия согласована.

Индивидуальное предпочтительное упорядочение альтернатив решений получается следующим: А B C D.

Задание

1. По исходным данным (варианты табл. 1.1) с помощью шкал относительной важности (табл. 2.1) построить матрицу предпочтений для критериев (табл. 2.2), сравнивая критерии по их важности для осуществления цели задачи.

2. По тем же исходным данным построить матрицы предпочтений для альтернатив относительно каждого критерия (табл. 2.3 – табл. 2.5).

3. Определить веса критериев и альтернатив относительно каждого критерия (табл. 2.2 – 2.5).

4. Определить порядок предпочтения альтернатив.

5. Определить индексы согласованности каждой матрицы предпочтений. Определить отношения согласованности. При невыполнении условий согласованности осуществить повторное сравнение (табл. 2.2 – табл. 2.6).

6. Определить согласованность всей иерархии. При невыполнении условий согласованности осуществить повторное сравнение (табл. 2.2 – табл. 2.6).

Содержание отчета

1. Матрица предпочтений для критериев.

2. Матрицы предпочтений для альтернатив.

3. Расчет приоритетности альтернатив.

4. Расчет индексов согласованности.

Вопросы

1. Структуризация задачи принятия решения.

2. Факторы, влияющие на предпочтение ЛПР.

3. Согласованность суждений ЛПР.

4. Шкалы оценки критериев.