§2. Сар как совокупность типовых

динамических звеньев

САР есть совокупность элементов определенным образом соединенных между собой. Каждый элемент выполняет определенные функции. Свойство системы САР в целом зависит от свойств элементов, входящих в систему. Каждый элемент САР имеет статическую и динамическую характеристику. Так же сама система регулирования имеет статическую и динамическую характеристику.

Статическая характеристика элемента САР (рис. 2.1) – это зависимость выходной величины Х_вых от входной Х_вх в равновесном, т.е. в установившемся, состоянии Х_вых = f (Х_вх). Эта зависимость может быть представлена формулой, таблицей или графиком в координатах

Рис.2.1. Статическая характеристика элемента САР.

Динамическая характеристика элемента САР (рис.2.2.), – зависимость выходной величины от входной в неустановившемся режиме. Она может быть представлена формулой, таблицей или графиком в координатах.

Рис.2.2. Динамическая характеристика элемента САР.

Входная величина может изменяться скачком (так будем считать в дальнейшем), тогда получившаяся динамическая характеристика называется переходной кривой разгона.

Входная величина может изменяться и по-другому: периодически, по синусоиде. Тогда соответствующая характеристика называется частотной.

По виду динамической характеристики элементы САР подразделяются на так называемые типовые динамические звенья. Элементы, определённые по типу динамической характеристики, называются типовыми динамическими звеньями. Они классифицируются следующим образом:

1. усилительное звено (безинерционные, пропорциональные, нулевого порядка);

2. апериодическое звено I порядка (инерционные);

3. интегрирующее звено (астатическое);

4. колебательное звено;

5. апериодическое звено II порядка;

6. дифференцирующее звено.

2.1. Объект регулирования

Объектом регулирования называют аппарат, механизм или систему, в которых посредством авторегулятора поддерживается заданное значение параметра регулирования. Математическая модель или характеристика объекта регулирования представляет собой математическую зависимость между входными и выходными величинами объекта. В химической промышленности объекты весьма разнообразны. Объектом может быть вещество, аппарат или часть аппарата (куб ректификационной колонны). Объект может быть из нескольких аппаратов, соединенных между собой.

Объекты, в которых регулируемые величины в равновесном состоянии имеют одинаковое значение по всему объему объекта, называются объектами с сосредоточенными параметрами. Объекты, в которых значения регулируемых величин в различных точках объекта неодинаковы, как в равновесном, так и в переходном режиме, называются объектами с распределенными параметрами. Эти объекты описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Пример, трубопровод с транспортируемым по нему газом (давление газа по течению неодинаково из-за потери на трение и местного сопротивления).

Основные свойства объектов: ёмкость, нагрузка, самовыравнивание, запаздывание.

1. Ёмкостью объекта называют то количество вещества или энергии, которое содержится в объекте в данный момент. Часто и само устройство, в котором происходит накопление энергии, называют емкостью. По количеству ёмкостей объекты подразделяются на одноёмкостные и многоёмкостные.

2. Нагрузка – это количество энергии или вещества, отбираемое из объекта регулирования для каких-либо целей в установившемся режиме.

3. Самовыравнивание – это способность объекта самостоятельно восстанавливать нарушенное равновесие между подачей и потреблением вещества за счет отклонения регулируемого параметра.

Одноёмкостный объект с самовыравниванием

Статическая характеристика объекта с самовыравниванием - это эависимость Х_вых = f (Х_вх) в установившемся режиме (рис. 2.3). За входную величину Х_вх принимаем поступление вещества в ёмкость в л/мин (рис.2.3) (например, 3 л/мин), за выходную Х_вых – уровень в ёмкости в метрах. В установившемся режиме количество поступающего вещества равно выходящему 3 л/мин (т.е. нагрузке), в результате уровень не меняется (например, 1 м). Когда приток увеличивается скачком, например, до 30 л/мин, уровень начинает расти. С ростом уровня возрастает гидростатическое давление на дно сосуда. В результате, увеличивается скорость истечения жидкости из ёмкости – V. Так как площадь выходного отверстия F в ёмкости не меняется, то расход на выходе также возрастает (Q=F*V). Затем, за счёт увеличения гидростатического давления на дно сосуда, наступит равновесие (установившийся режим), т.е. нагрузка = 30л/мин. Уровень установился на новой отметке (например, 2,5 м). В этот момент можно измерять новый установившийся уровень и результат наносить на график статической характеристики. Далее приток вновь увеличиваем скачком. В установившемся режиме получим для статической характеристики третью точку и т.д.

Рис. 2.3. Статическая характеристика объекта c самовыравниванием.

Статическая характеристика строится для определения коэффициента усиления К. Если статическая характеристика нелинейная, как здесь, то её иногда линеаризуют. Если статическая характеристика линейная, то коэффициент усиления для нее только один – общий.

Так как в данном случае характеристика нелинейная, то понятие коэффициента усиления можно отнести только к какой-то точке кривой. Выбирается точка, проводим в ней касательную.

Динамическая характеристика одноёмкостного объекта с самовыравниванием - это эависимость Х_вых = f (Х_вх) в неустановившемся режиме. Здесь t – время (рис.2.4).

Рис.2.4. Динамическая характеристика объекта c самовыравниванием.

К полученной кривой проводим касательную в точке Х_вых = 1 м до пересечения с новым установившимся уровнем Х_вых = 2,5м, затем опускаем перпендикуляр. Полученный отрезок на оси времени Т_о – постоянная времени объекта. Ради определения Т_о и была построена динамическая характеристика объекта.

Объект с самовыравниванием по типу динамической характеристики эквивалентен апериодическому звену I порядка и описывается обыкновенным дифференциальным уравнением I–го порядка с постоянными коэффициентами (экспонента).

Найденные из статической и динамической характеристик константы K и Т_о подставляем в дифференциальное уравнение и решив его и получим

.*

Получив из статической и динамической характеристик константы K и Т_о, а также найдя решение* дифференциального уравнения данного объекта с самовыравниванием, можно построить аналитическую динамическую характеристику в координатах (Х_вых, τ). Кроме того, найденное решение можно использовать в программах ПК (не нужно вводить в ПК таблицы экспериментальных результатов, а вместо них вводим формулу*). Этот процесс называется «математическая идентификация объекта».

Влияние ёмкости объекта на величину постоянной времени

Рассмотрим влияние ёмкости объекта на величину постоянной времени Т_о. Возьмём одну и ту же порцию тепла и забросим её в лекционный зал, а затем её же в собачью будку. Считаем, что температуры в этих помещениях вначале были одинаковы. Так как объём будки меньше ёмкости зала, то в будке температура установится быстрее, чем в зале. Кроме того, установившаяся температура в будке будет выше, чем установившаяся температура в зале при одной и той же заброшенной порции тепла. При построении динамических характеристик этих помещений получим Т_о будки < Т_о зала (рис.2.5). Следовательно, чем меньше ёмкость объекта, тем меньше постоянная времени Т_о.

Рис. 2.5. Динамические характеристики объектов c самовыравниванием.

Одноёмкостный объект без самовыравнивания.

Динамическая характеристика

Рис.2.6. Динамическая характеристика объекта без самовыравнивания.

Одноёмкостный объект без самовыравнивания эквивалентен интегрирующему звену (рис.2.6.). При увеличении притока на входе скачком, например, до 30 л/мин, уровень неограниченно растёт, самовыравнивания не наступает, т.к. выходное отверстие ёмкости засорилось (либо там установлен насос постоянной производительности).

Многоёмкостный объект с самовыравниванием

Рис. 2.7. Динамическая характеристика многоёмкостного

объекта с самовыравниванием.

Многоёмкостный объект с самовыравниванием по типу динамической характеристики эквивалентен апериодическому звену II порядка и описывается обыкновенным дифференциальным уравнением II – го порядка с постоянными коэффициентами (две экспоненты). Рассмотрим на примере 2-х ёмкостного объекта.

Динамическая характеристика (рис.2.7.). Эта характеристика описывается дифференциальным уравнением II порядка. Входная величина X_вх, выходная величина X_вых, т.е. уровень во 2-й ёмкости.

После нанесения скачка X_вх с 3 л/мин до 30 л/мин уровень во 2-й ёмкости увеличивается вначале с возрастающей скоростью (здесь f^" > 0), а затем с убывающей скоростью (f^" < 0). Точка А – это точка перегиба (f^" = 0). В итоге, после нанесения скачка X_вх с 3 л/мин до 30 л/мин уровень во 2-й ёмкости установиться на отметке, например, 2,5 м. Здесь Т_зап – время запаздывания; Т_о – постоянная времени. Чем больше расстояние между ёмкостями, тем выше смещается точка перегиба А (т.е. увеличивается время запаздывания).

Многоёмкостный объект без самовыравнивания

Рис.2.8. Динамическая характеристика многоёмкостного (двухёмкостного) объекта без самовыравнивания.

Многоёмкостный объект без самовыравнивания по типу динамической характеристики (рис.2.8.) эквивалентен интегрирующему звену. При увеличении притока на входе скачком, например, до 30 л/мин, уровень растёт, но самовыравнивания во 2-й ёмкости не наступает, т.к. выходное отверстие этой ёмкости засорилось (либо там установлен насос постоянной производительности).

Запаздывание в объектах и регуляторах

В реальных объектах (регуляторах) изменение регулируемого параметра начинается не сразу после нанесения возмущения, а спустя некоторое время. Это время называют запаздыванием. Различают 2 вида запаздывания: чистое (транспортное) – τ₀; ёмкостное - τ_ё.

В одноёмкостном объекте имеется только чистое запаздывание τ₀. Оно вызывается наличием в регулируемом объекте участков, по которым распространение сигнала требует некоторого времени.

В многоёмкостном, (двух и более объектов), кроме чистого имеется еще и ёмкостное запаздывание τ_ё. Оно обусловлено гидравлическими тепловыми и другими сопротивлениями. Эти сопротивления вызывают замедленный переход вещества из одной емкости в другую.

Рассмотрим динамическую характеристику одноёмкостного объекта с самовыравниванием с учётом запаздывания (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Динамическая характеристика одноёмкостного объекта

с самовыравниванием с учётом запаздывания.

Как следует из рис.2.9 кривая разгона смещается вправо на время чистого (транспортного) запаздывания τ_0.