8. Точності формул для апроксимації похідніх.

В загальному точність апроксимації похідної визначається виразом:

Для демонстрації практичного використання формули розглянемо формулу

;

;

Використаємо розклад в ряд Тейлора

Знаходимо, що

Згідно теореми Роля існує таке число , яке лежить між і , що

,

Отже:

, де

Розглянемо іншу формулу

Знаходимо:

де .

Можна використовувати теорему Лагранжа:

,

де і

9. Методи покращення точності формул для апроксимації похідніх.

Процедура регуляризації по кроку.

Метод Рунге-Ромберга для покращення точності апроксимації похідних. Точність апроксимації похідної визначається залишковим членом, який в загальному випадку можна записати як , де -порядок апрксимації. Нехай - точне значення похідної, а - вираз для апроксимації похідної, отриманий на рівномірній сітці з кроком :

Отримаємо по цій самій формулі вираз для апрксимації похідної на сітці з кроком :

Знайшовши з цих двох рівнянь вираз для невідомого залишкового члена, отримаємо уточнений вираз для апроксимації похідної, порядок якого складає :

Для прикладу розглянемо формулу другого порядку для апроксимації похідної першого порядку. Використовуючи формулу Рунге-Ромберга отримаємо:

Отримана формула має вже третій порядок апроксимації.

Метод Рунге-Ромберга практично можна використовувати, якщо для формул на сітці і формул на сітці , використовується подібна конфігурація вузлів відносно заданної точки. Тому метод Рунге-Ромберга використовують для знаходження похідної в вузлах або серединах інтервалів сітки.

Процедуру вибору оптимального значення величини називається регуляризацією. Необхідність регуляризації по кроку пов’язана з тим, що зменшення кроку сітки приводить до відповідного зменшення похибки апроксимації, але при цьому слід врахувати, що одночасно збільшується вичислювальна похибка.

Для регуляризації по кроку вибирають таке значення кроку h, для якого справедливе співвідношення:

де - деяке задане мале число, яке визначає точність чисельного диференціювання.

Ця процедура дає змогу зменшити похибку округлення за рахунок уникання віднімання близьких по величині чисел.

10. Побудова квадратурних формул з використанням інтерполяційніх формул та за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні наближеного значення означеного інтегралу

використовуючи значення підінтегральної функції у вузлах .

Формули чисельного обчислення однократних інтегралів називаються квадратурними формулами, для двократних і більш кратних інтегралів - кубатурними.

Розглянемо методи побудови квадратурних формул. Перший метод полягає в заміні підінтегральної функції на відрізку інтегрування інтерполюючою або апроксимуючою функцією. Найчастіше функцію задають через інтерполяційний многочлен Ньютона. В цьому випадку функція замінюється лінійним виразом, коефіцієнтами якого є значення функції в вузлах

де - залишковий член, яки визначає точність інтерполяції.

Виконавши інтегрування отримаємо квадратурну формулу

,

де ,

В формулі (1) величини - вузли, -ваги , -похибка квадратурної формули. Для мінімізації похибки чисельного інтегрування, відрізок інтегрування розбивають на відрізків. На кожному з відрізків отримують вираз для апроксимації інтегралу, які потім сумують по всьому інтервалу.

Побудуємо інтерполюючий многочлен по двох вузлах і

.

Використовуючи значення функції в двох вузлах

.

Ми отримали формулу трапецій. Побудуємо більш складнішу формулу використовуючи значення функції в вузлах .

Ми отримали формулу Сімпсона.

Іншим методом побудови квадратурних формул є метод невизначених коефіцієнтів. В залежності від того які ми накладаємо умови на величини і , можна побудувати різні типи квадратурних формул. Якщо ми накладаємо умову, що всі вузли є рівновіддаленими з кроком , а значення ваг шукатимемо з умови, що квадратурна формула була точною для алгебраїчних многочленів якомога вищої степені, то отримаємо формули Ньютона-Котеса.

Розглянемо випадок трьох вузлів .

Накладаємо умову, то формула має бути точною для многочленів . Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів :

Знаходимо, що , , . Ми вивели формулу Сімпсона.

Відмітимо деякі загальні властивості квадратурних формул Ньютона-Котеса. Для коефіцієнтів справедливі наступні співвідношення

1..

2.

3. Коефіцієнтами не є знаковизначеними при рості , що впливає на стійкість сумування при .

4. Формули Ньютона - Котеса для вузла (-парне), що відповідає відрізку інтегрування () є точними для многочленів степені . Квадратурні формули, що відповідають і є точними для многочленів однакової степені.