13.2. Портреты хаоса

Для того чтобы интуитивно понять основные концепции теории хаоса, не обязательно штудировать тома математической литературы. Достаточно провести несколько экспериментов, доступных любому студенту, знакомому с основными возможностями электронных таблиц (см. § 12.1).

Исследуем поведение решений следующего логистического разностного уравнения:

Здесь предполагается, что емкость рынка равна 1, поэтому О < xt< < 1, т.е. xt - это доля рынка, завоеванная новинкой к моменту t; h - параметр управления [7].

Исследуем поведение системы (13.6) с помощью Excel, но несколько модифицируем схему вычислений. Столбец А сформируем так же, как и в § 12.1, параметр А, запишем в ячейку Cl. Сформируем вспомогательный столбец В, равный столбцу А, но со сдвигом на одну ячейку вниз (табл. 13.1).

Таблица 13.1.  Фрагмент окна Excel

	А	В	С
1	0,85	О	1,8
2	»CS1*A1* (1-Al)	= Al

В данной таблице в ячейку Al введено начальное значение Jc1 = = 0,85, в ячейку Bl записан О, а в ячейке Cl будет храниться значение параметра X. В ячейке А2 записана рекуррентная формула логистического уравнения, а в ячейке В2 указывается, что значение числа следует взять из предыдущей строки столбца А. Выделим ячейки А2 и В2. Затем размножим формулы в этих ячейках вниз до строки 60.

Построим график поведения решения уравнения (13.6) так же, как это делалось в § 12.1. Построим еще один график, отражающий поведение системы в фазовой плоскости (у,х) - в данном случае (xt+l, xt). Для этого выделим 60 строк в столбцах А и В. Вызовем меню "мастер диаграмм". Выберем тип диаграммы (Точечная), и в раскрывшейся галерее выберем вариант диаграммы со значениями, соединенными сглаживающими линиями. Полученный график поместим под ранее построенной диаграммой. Теперь изменения в поведении системы будут видны одновременно в двух вариантах графиков.

Изменим поведение системы (13.6), варьируя значения управляющего параметра в интервале от О до 4. При этом система демонстрирует три различных типа поведения: 1) стремление к состоянию равновесия; 2) периодические колебания; 3) хаос.

При значении А, от О до 3 система стремится к равновесному стабильному положению (пример на рис. 13.5). Посмотрите, как ведут себя графики при А. = 0,5; 1,8; 2,2; 2,6. При А, < 1 наступает положение равновесия: х*= О. При 1< А,< 3 система стремится к стационарному состоянию: х*=1 - (1/А.). Полезно при фиксированном А. поэкспериментировать с разными начальными состояниями (JC1).

Рис. 13.5. Стремление к состоянию равновесия (А. = 2,2)

Периодические колебания охватывают систему при А, > 3. Качественное изменение поведения системы говорит о том, что 1 = 3 является точкой бифуркации - положение равновесия сме-аяется предельным циклом. Зададим А, = 3,2 и увидим, что довольно быстро система переходит к колебаниям с периодом 2 (в столбце А остаются только два чередующихся значения) (пример на рис. 13.6). Постепенно увеличим значение А. = 3,3; 3,4; 3,5. При А, = 3,5 период колебаний равен 4 - произошло удвое-trae периода. При А. = 3,567 появляется цикл с периодом 8. При дальнейшем росте X появляются циклы с периодом 32, 64, 128, 256 и т.д. [7].

В хаотический режим система попадает при \ e (3,8;...4) (рис. 13.7). Поведение системы становится апериодическим, не видно какой-либо закономерности. Поведение кажется случайным, подверженным непредсказуемым внешним воздействиям. На самом деле это загадочное поведение полностью определено детерминированным законом функционирования системы (13.6). Но прогнозировать поведение системы в состоянии хаоса на длительный период времени невозможно. Хаотическое поведение слишком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение X1 на одну миллионную может существенно изменить ход решения.

Рис. 13.6. Колебания с периодом 2 (X = 3,2)

Рис. 13.7. Хаотический режим (X = 3,9)

Качественное изменение режимов функционирования системы удобно наблюдать в фазовой плоскости. В варианте сходимости к положению равновесия решения стремятся к одной точке. Для колебаний с периодом 2 аттрактором является цикл, состоящий из двух точек. Значительно более запутанная картина возникает в случае хаотического режима. Рассмотрим несколько вариантов графика. Для этого следует отредактировать диаграмму, щелкнув по ней правой кнопкой мыши. Появится контекстное меню, в котором следует выбрать опцию "Тип диаграммы". Появится галерея вариантов графика. Выберем вариант даграммы без маркеров и увидим типичную картинку странного аттрактора (рис. 13.8).

Рис. 13.8. Хаотический режим в фазовой плоскости (X = 3,9)

Теперь уберем лишние линии, выбрав первый вариант графика, и перед нами окажется портрет таинственного странного аттрактора (рис. 13.9). Именно по этому множеству точек хаотично "скачет" исследуемая система. И ее можно понять - в данном случае странный аттрактор имеет вполне притягательную параболическую форму.

Поэкспериментируйте с различными исходными данными и понаблюдайте за эволюцией странного аттрактора. Убедитесь, что в хаосе тоже существует своего рода порядок.

Еще менее устойчивым становится поведение систем при учете эффекта запаздывания. Рассмотрим следующий вариант логистического уравнения:

В этом случае состояние системы в момент t + 1 зависит не только от xt , но и от X1^. Вспоминая, как исследуются такие модели (см. задачу Фибоначчи в § 12.1), составим вычислительную модель (аналогично предыдущему случаю). Оказывается, система (13.7) имеет положение равновесия только при О < А, < 2. При А. = 2 происходит бифуркация и появляется предельный цикл. При А> 2,27 поведение системы перестает быть стабильным [5,6].

  

Что же дает социологу исследование нелинейных моделей социальных систем? Проведение вычислительных экспериментов позволяет определить границы параметров, при которых система устойчиво демонстрирует стабильное поведение. Даже если система оказалась в состоянии хаоса, исследование формы странного аттрактора может дать полезную информацию.

Результаты последних лет позволяют надеяться, что и хаотическими ситуациями можно научиться управлять. Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях удается легко перейти на стабильные траектории развития [7].

Семинар №14