1.4. Уравнение линии на плоскости.

 

Пусть на плоскости  заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение, связывающее переменные x и y,

. (1.1)

 

Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).

 

Примеры.

 

1. Уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в точке .

2. Уравнение определяет на плоскости Oxy только одну точку (0,0).

3. Уравнение вообще не определяет никакого геометрического образа.

 

 

1.4.1.Параметрическое представление линии.

 

Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :

, (2.1.)

 

где функции непрерывны по параметру t в областиизменения этого параметра. Исключение из двух уравнений (2.1) параметра t приводит к уравнению вида (1.1).

 

Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса с центром в начале координат.

 

 

Пусть - любая точка этой окружности, а t - угол между радиусом-вектором и осью Ox, отсчитываемой против часовой стрелки. Тогда (2.2).

 

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения нашей окружности. Чтобы точка один раз обошла окружность, t должно изменяться в пределах:. Для исключения параметра t из уравнения (2.2) нужно возвести в квадрат и сложить уравнения (2.2); получим .

 

 

1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах.

 

Введем на плоскости полярные координаты. Выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.

 

 

Полярными координатами точки M называются два числа: (полярный радиус) равное расстоянию точки M от полюса O и (полярный угол)- угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM. Точку M обозначают символом и обычно считают, что .

 

Если начало декартовой прямоугольной системы находится в полюсе, а ось абсцисс совпадает с полярной осью, то очевидна связь между полярными координатами точки и ее декартовыми координатами :

 

. (3.1)

 

Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим . Разделив одно на другое, получим, что , а также, используя знаки x и y, определим четверть, в которой находится точка M. Т.е., зная декартовы координаты точки x и y, можно найти ее полярные координаты.

 

Если представляет собой уравнение линии L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy, то достаточно подставить вместо x и y их выражения в полярных координатах (3.1): получим, где использовали обозначение .

 

 

1.4.3. Пересечение двух линий.

 

Задача о нахождении точек пересечения двух линий , заданных уравнениями , состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих каждому из этих уравнений.

 

Т.е. нужно решить систему уравнений

Если эта система не имеет решений, то линии не пересекаются.

 

Пример. Найти точки пересечения окружностей .

Решаем систему уравнений

 

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Отсюда найдем, что . Мы получили две точки пересечения .