4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена
Замечание. Обратная
теорема не имеет места, ибо ограниченная
последовательность, вообще говоря,
может и не быть сходящейся. Так, например,
xn=1+(-1)n=0,
2, 0, 2, 0, 2, . . . ограниченна, но не является
сходящейся. Действительно, если бы
xnс
и
,
то xn
-a
и xn
+1 - а,
тогда и (xn
-a)- (xn
+1 - а)
(теорема 1,2,3).
Но (xn -a)- (xn +1 - а)=xn - xn +1 не является бесконечно малой, т.к.
xn - xn +1 = 2 для nN.
4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Если последовательности xn и yn сходятся, то сумма (разность), произведение и частное этих последовательностей (частное при условии, что предел последовательности yn0) есть сходящиеся последовательности, пределы которых соответственно равны: сумме (разности), произведению и частному пределов этих последовательностей
4.2.7. Монотонные последовательности.
Определение 1. Последовательность xn называется невозрастающей (неубывающей) последовательностью, если каждый последующий член этой последовательности не больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для nN справедливо неравенство xn xn +1 (xn xn +1). Такие последовательности называются монотонными последовательностями.
Определение 2. Если для всех номеров n элементы последовательности xn удовлетворяют неравенству xn > xn +1 (xn < xn +1), то такая последовательность называется убывающей (возрастающей). Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.
Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие последовательности ограничены сверху и снизу соответственно своими первыми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последовательность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).
Введем следующие обозначения:
xn - невозрастающая последовательность xn,
xn - неубывающая последовательность xn,
xn - возрастающая последовательностьxn,
xn - убывающая последовательность xn.
Пример 1. Последовательность n,n=1,1,2,2, . . .n,n, . . . неубывающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом - “1”, а сверху не ограничена.
Пример 2. Последовательность
возрастающая.
Снизу эта последовательность ограничена
своим первым элементом
,
а сверху , например, своим пределом-
единицей, т.е. эта последовательность
ограничена.
Теперь докажем основную теорему о сходимости монотонной последовательности.
Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
[ ({xn
}
)(
xn)]{xn
}
c,
[ ({xn
}
)(
xn)]{xn
}
c.
В силу замечания, сформулированного выше, неубывающие (невозрастающие), ограниченные сверху (снизу) последовательности являются ограниченными с обеих сторон. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать так:
.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.
В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу доказанной теоремы она сходится.
Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).
Замечание 2. Если
последовательность сходится, то она
может и не быть монотонной. Так,
последовательность
сходится
и имеет пределом “0”. Однако эта
последовательность не является
монотонной, т.к. знаки элементов этой
последовательности чередуются.