Теорема 1.

 

(x) .

 

Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число , которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.

Доказательство данной теоремы можно найти в некоторых работах.^[1]

 

 

4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел.

 

Пусть имеется произвольное множество вещественных чисел x, будем говорить, что точка x₁ множестваx отлична от точки x₂ этого множества, если вещественные числа x₁ и x₂ не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство x₁>x₂ (x₁<x₂), то будем говорить, что точка x₁ лежит правее (левее) точки x₂.

 

1. Сегмент (замкнутый отрезок или отрезок)- символическая запись a,b.

 

.

 

Числа a и b называются граничными точками или концами сегмента, а любое число x, удовлетворяющее неравенствам a < x < b, будем называть внутренней точкой сегмента.

 

1. Полусегмент. Символическая запись: a, b или a, b .

 

.

 

1. Интервал. Символическая запись (a, b).

 

1. Окрестностью точки С называется любой интервал, содержащий точку С.

 

.

 

1.  - окрестностью точки С называется интервал (с-, с+), где >0.

 

1. Числовая (бесконечная) прямая- символическая запись (- , + )

 

.

 

1. Полупрямая -а,+  или - , b

 

.

 

1. Открытая полупрямая - (а, +) или (- , b).

 

.

 

 

^[1] 1.См., например: Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М.:

Наука, 1971 (и последующие издания), ч.1.

4.2. Теория последовательностей.

 

4.2.1. Понятие числовой последовательности.

 

Определение 1. Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,...,n поставлеено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n (при этом может оказаться, что разным натуральным числам n ставятся в соответствие и одинаковые числа). Тогда множество занумерованных вещественных чисел

 

x₁, x₂, . . ., x_n, . . . (1)

 

называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Каждое отдельное число x_n называется элементом или членом последовательности.

 

Сокращенно последовательность с элементами x_n будем обозначать x_n .

 

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводятся следующим образом.

 

Пусть даны две произвольные последовательности x_n и y_n.

 

Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности:

 

x_n+y_n, x_n-y_n, x_n y_n, x_n / y_n.

 

При определении частного предполагается, что либо все y_n от 0, либо все y_n отличны от нуля начиная с некоторого номера. Тогда частное x_n / y_n определяется с этого номера.

 

 

4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

 

Определение 1. Последовательность x_n называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что все элементы последовательности x_n удовлетворяют неравенству

 

x_n  М (x_n  m)

 

 

Число M(m) называется верхней (нижней) гранью последовательности x_n.

 

Замечание 1. Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность x_n имеет бесчисленное множество верхних (нижних) граней.

 

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной (x_nm), если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют такие вещественные числа M и m, что для каждого элемента последовательности x_n выполняются неравенства m  x_n  M

 

 

Замечание 2. Пусть x_nm, и M и m- ее верхняя инижняя грани, тогда, обозначая , имеем  x_n   A для всех элементов последовательности  x_n . Наоборот, если для всех элементов последовательности  x_n  выполнено неравенство  x_n   A, то справедливы неравенства -А  x_n  А. Таким образом, определение ограниченной последовательности можно сформулировать следующим образом:

 

Определение 3. Последовательность  x_n  называется неограниченной (x_nm), если для любого положительного числа А найдется элемент x_n последовательности x_n, удовлетворяющий неравенству  x_n >А.