4.1.3. Ограниченные множества вещественных чисел.

 

Рассмотрим произвольное множество вещественных чисел, которое будем обозначать символом x. Будем предполагать, что множество x содержит хотя бы одно число (непустое множество). Обозначение: x.

 

Определение 1. Множество вещественных чисел x называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент x множества удовлетворяет неравенству x  М. (x  m).

 

Класс ограниченных сверху (снизу) множеств вещественных чисел будем обозначать символом , так что записьозначает, что множество вещественных чисел x является ограниченным сверху (снизу).

 

На языке алгебры логики данные определения формулируются следующим образом:

 

Числа М и m называются, соответственно, верхней гранью (нижней гранью) множестваx.

 

Замечание. Если вещественное число М является верхней гранью множества x, то и любое вещественное число М¹, большее М, также является верхней гранью этого множества. Отсюда вытекает, что любое ограниченное сверху множество x имеет бесконечно много верхних граней.

 

Аналогичные выводы можно сделать и в отношении нижних граней ограниченного снизу множества x.

 

Пример 1. Множество всех целых отрицательных чисел -1,-2,-3,... ограничено сверху. В качестве верхней грани этого множества можно взять любое вещественное число М, удовлетворяющее неравенству М-1.

 

Пример 2. Множество всех положительных вещественных чисел ограничено снизу. В качестве нижней грани этого множества можно взять любое неположительное вещественное число.

 

Определение 2. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества x называется наименьшая из всех верхних граней этого множества. Точная верхняя грань x обозначается символом (sup - первые три буквы латинского слова supremum (“супремум”), которое переводится как “наивысшее”).

 

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества x называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом (от латинского слова infimum (“инфимум”), которое переводится как “наинизшее”).

 

Определение 2 формулируют чаще и по-другому:

 

Число (число ) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества x, если выполнены следующие два требования:

1. каждый элемент xx удовлетворяет неравенству ;

2. каково бы ни было вещественное число x¹ меньшее (большее ), найдется хотя бы один элемент , удовлетворяющий неравенству .

 

В этом определении требование 1 означает, что число (число ) является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2 показывает, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.

 

 

 

Пример 3. У множества всех целых отрицательных чисел -1,-2,-3,... существует точная верхняя грань x= -1, которая принадлежит этому множеству (т.е. является наименьшим элементом этого множества).

 

У множества всех положительных вещественных чисел существует точная нижняя грань- число 0, причем это число не принадлежит указанному множеству.

 

Имеет место следующая теорема.