1 Проекції точки

Основним методом нарисної геометрії є метод проекцій. Вивчення цього методу починають з побудови проекцій точки, адже будь-який предмет геометрично можна побудувати із окремих точок. Візьмімо яку-небудь площину П' і точку S, що не належить цій площині, а також точку А (рис. 1.1, а). Через точку А проведемо промінь із точки S до перетину з площиною П'. Точка А' перетину цього променя з площиною П' і є проекцією точки А на площині П' із центра S. Таким чином, П' називається площиною проекцій, S – центром проекцій. Точка S і площина П' складають проекціювальний апарат. Точка А – це точка простору (предмет).

Якщо точка S знаходиться на скінченій відстані від площини П', то маємо центральне проекціювання, а точка А' називається центральною проекцією точки А. Коли ж точка S знаходиться у нескінченості, то промені, які виходять із неї,

стають паралельними Рис. 1.1

між собою і проекціювання називається паралельним, а проекції предметів – відповідно паралельними. У цьому разі задають напрямок проекціювання s (рис. 1.1, б).

Візьмімо ще одну точку В у просторі і спроекціюємо її теж на площину П'. Дістанемо проекцію В' цієї точки. Уявімо собі, що через точки А і В проходить яка-небудь крива m. Промені, які проходять через точки кривої m, перетинаються з площиною П' у точках, що належать кривій m' - проекції кривої m. При центральному проекціюванні уся неперервна сукупність проекціювальних променів утворює конічну поверхню, тому таке проекціювання називають ще конічним. Якщо ж точка S знаходиться у нескінченості, то проекціювальні промені у своїй сукупності утворюють циліндричну поверхню і таке проекціювання інакше ще називають циліндричним.

За паралельного проекціювання промені можуть бути перпендикулярними до площини П', тоді проекціювання називається прямокутним або ортогональним, і не перпендикулярними, у цьому разі проекціювання називається косокутним.

Можна назвати деякі властивості паралельного проекціювання:

а) проекція прямої лінії є пряма лінія (рис. 1.2).

Доведення. Якщо через усі точки прямої АВ провести проекціювальні промені, то у своїй сукупності вони утворять площину, яка перетне площину проекцій по прямій А'В'. Ця пряма і є проекцією прямої АВ;

б) якщо точка Н належить прямій GF, то її проекція H' належить проекції GF цієї прямої

(рис. 3)

Доведення. Проекціювальний промінь, який проходить через точку H, належить проекціювальній площині, що проходить через пряму GF, і тому пере-

тинається з площиною проекцій у точці, яка належить лінії перетину площин, тобто проекції прямої GF; в) відношення відрізків GH / FH прямої дорівнює відношенню проекцій цих відрізків GH / FH Рис. 1.2

(рис. 1.3).

Доведення. Відрізки GF і GF належать сторонам одного кута. Промені GG, FF і HH паралельні між собою. А паралельні прямі, як відомо, поділяють сторони кута на пропорційні відрізки;

г) проекції паралельних прямих паралельні, бо проекціювальні площини, які проходять через ці прямі, паралельні між собою і перетинаються з площиною проекцій по паралельним прямим;

д) відношення відрізків паралельних прямих дорівнює відношенню їхніх проекцій (рис. 1.4).

Доведення. Через точки М і Р проведемо відрізки МК і РL паралельно проекціям відповідно МN і PQ. Маємо два подібних трикутники MNK і PQL, а з їхньої подібності вибігає, що MN/PQ = Рис. 1.3

MN/PQ. Із попередніх рисунків видно, що проекціюючи

точку простору із центра S (власного чи невласного) на площину П, можна отримати лише одну проекцію цієї точки. Одній же проекції точки може відповідати безліч точок простору, розташованих на проекціювальному промені, проведеному через проекцію точки. Із сказаного вибігає висновок: точка простору визначає свою єдину проекцію на площині проекцій, а одна проекція точки не визначає її положення у просторі. Іншими словами, за однією проекцією Рис. 1.4

предмета не можна визначити його

форму. Тому одну проекцію предмета необхідно доповнювати додатковою інформацією, яка б дозволяла однозначно визначати форму предмета та його положення у просторі. Існують різноманітні методи доповнення однокартинного креслення, тобто зараз відомо багато методів моделювання тривимірного простору і реконструювання плоских моделей просторових форм. Випускникам середніх шкіл знайомі 4 – 5 таких методів: проекції на 2 і 3 площини проекцій (вивчали у кресленні), аксонометрія (геометрія та креслення), перспектива (фотографія), проекції з числовими позначками (географічна фізична карта).

Одним із таких методів є найбільш поширений у техніці метод Г. Монжа, який полягає у ортогональному проекціюванні предмета на дві чи три взаємно перпендикулярні площини проекцій. Візьмімо дві взаємно перпендикулярні площини проекцій П₁ і П₂ (рис. 1.5, а) та точку А. Площина П₁ називається горизонтальною площиною проекцій, а П₂ – фронтальною площиною проекцій. Спроекціюємо точку А на площини П₁ і П₂. Тобто із точки А проведемо перпендикуляри до площин П₁ і П₂. Ці перпендикуляри перетинають площини П₁ і П₂ у точках відповідно А₁ і А₂. Точки А₁ і А₂ за назвами площин П₁ і П₂ називаються горизонтальною та фронтальною проекціями точки А. Сумістимо площину П₁ із площиною П₂, обертаючи її навколо лінії x₁₂ (рис. 1.5, б). Лінія x₁₂ перетину площин П₁ та П₂ називається віссю проекцій. Проекції А₁ і А₂ розташовуються на відрізку А₁А₂, перпендикулярному до осі x₁₂. Лінія А₁А₂ називається лінією проекційного зв’язку або просто лінією зв’язку. Те, Рис. 1.5

що показано на рис. 1.5, б,

називається епюром Г. Монжа, його ще називають ортогональним чи комплексним кресленням точки. На ньому не показують площини П₁ та П₂. Вважається, що їхні поля збігаються з полем креслення. Відрізок А₁А₁₂ дорівнює відстані від точки А до площини П₂, а відрізок А₂А₁₂ – це відстань від точки А до площини П₁. За епюром Г. Монжа можна встановити положення точки А щодо площин П₁, П₂. Для цього необхідно в точці А₁ встановити перпендикуляр до площини П₁, а у точці А₂ – до площини П₂. У перетині цих перпендикулярів знаходиться точка А.

Площини П₁ і П₂ поділили простір на 4 частини, які називаються чвертями або квадрантами. Вони позначаються римськими цифрами І, ІІ, ІІІ, ІV (рис. 1.5, а). У залежності від того, в якій чверті знаходиться точка, її епюр виглядає по – різному (рис. 1.6): якщо точка А знаходиться у першій чверті, то її фронтальна проекція вище осі x₁₂, а горизонтальна – нижче; обидві проекції В₁ і В₂ точки В, яка знаходиться у другій чверті, розташовані вище осі x₁₂; для точки С, Рис. 1.6

що знаходиться у третій чверті, горизонтальна

проекція розташована вище осі x₁₂, а фронтальна С₂ – нижче; обидві проекції D₁ і D₂ точки D, що розташована у четвертій чверті знаходяться нижче осі x₁₂. Але за двома проекціями предмета не завжди можна встановити його форму, тоді застосовують ще одну площину проекцій – П₃, яка називається профільною, а проекції фігур (точок, ліній, предметів) на ній називаються профільними (рис. 1.7). Отже А₃ – це профільна проекція точки А. Три площини проекцій поділяють простір на 8 частин, які називаються октантами. Вони, як і чверті, позначаються римськими цифрами І – VІІІ. Перші чотири октанти розташовані , як чверті, решта чотири октанти симетричні першим щодо площини П₃. У перетині площин проекцій П₁, П₂, П₃ утворилися три взаємно перпендикулярні осі x₁₂, y₁₃, z₂₃, які називають осями проекцій.

Сумістимо площини проекцій П₁ і П₃ з площиною П₂, обертаючи їх відповідно навколо осей х₁₂ і z₂₃ (рис. 1.7, б). Маємо три проекції точки А, які розташовані на лініях зв’язку (сполучення) – А₁А₂ (вертикальна), А₂А₃ (горизонтальна), А₁А₃ (ламана). Ці три проекції складають епюр Монжа, або комплексне трикартинне креслення. На такому кресленні можуть бути задані будь-які дві проекції, а третя будується одним із відомих з елементарної геометрії способів: за допомогою циркуля, або косинця з кутом 45⁰.

Рис. 1.7

У нарисній геометрії частіше вживається для цього так звана постійна пряма креслення (ППК), яка завжди проводиться через точку O₁₂₃ вправо униз і вліво угору під кутом 45 до осі x₁₂. На практиці при виконанні технічних креслень профільну проекцію доцільно будувати координатним способом, коли профільна проекція точки знаходиться за допомогою ординати у (у = А₁₂А₁ = А₂₃А₃).

Положення точки щодо площин проекцій П₁, П₂, П₃ можна характеризувати трьома числами-координатами – абсцисою х, ординатою у, аплікатою z (іноді ці координати називають відповідно широтою, глибиною і висотою). В нарисній геометрії вважаються додатними частини осей проекцій, які утворюють перший октант: х₁₂ вліво від площини П₃, у₁₃ – перед площиною П₂, z₂₃ – угору від площини П₁.

Для прикладу покажемо, як побудувати три проекції точок

A(30, 20, 40) i B(10, -20, -30), які перебувають відповідно у І і ІІІ – му октантах (рис. 1.8). На осі х₁₂ вліво від точки О₁₂₃ відкладаємо координату х_А = 30 мм точки А. Маємо точку А₁₂, від якої униз відкладаємо координату у_А=20 мм, а угору – координату z_A=40 мм. Маємо проекції А₁ і А₂ точки А. Далі через горизонтальну проекцію А₁ проводимо до перетину з ППК горизонтальну ділянку ламаної лінії зв’язку А₁А₃. Від точки перетину лінії зв’язку з ППК проводимо вертикальну ділянку ламаної лінії зв’язку до перетину з горизонтальною лінією зв’язку А₂А₃. Маємо профільну проекцію А₃ точки А.

Так само будуються проекції точки В. Різниця полягає лише у тому, що від’ємні координати у_В=-20 мм відкладається угору від осі х₁₂, а z_B=-30 мм – униз від осі х₁₂. Слід зауважити, що завжди, коли відкладається від осі х₁₂ координата у (додатна чи від’ємна), то утворюється горизонтальна проекція точки (А₁, А₂), а коли відкладається координата z (додатна чи від’ємна), то утворюється фронтальна проекція точки (А₂, В₂).

Горизонтальна ділянка ламаної лінії зв’язку завжди проводиться від горизонтальної проекції точки до ППК. На рис. 1.8 для побудови проекції А₃ точки А використана нижня частина ППК, а для побудови проекції В₃ точки В – верхня. Тому через проекцію В₁ проведена лінія зв’язку вліво від точки В₁ до ППК і униз до перетину з горизонтальною лінією зв’язку В₂В₃. Маємо профільну проекцію В₃ точки В.

Кожну із трьох проекцій точки можна побудувати за її двома відповідними координатами. Наприклад, координати проекцій точки А: А₁(30, 20), А₂(30, 40), А₃(20, 40), а точки В: В₁(10, -20), В₂(10, -30), В₃(-20, -30). Рис. 1.8

У таблиці 2 наведені координати

з відповідними знаками проекцій будь-яких точок, які перебувають в різних октантах.

Cаме за координатами точок будуються їхні проекції на технічних кресленнях предметів, наприклад, деталей машин. Тільки у цьому разі координати визначаються за розмірами предмета.