МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

(Навчальний посібник)

- 2007 -

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

(Навчальний посібник)

РОЗГЛЯНУТО

на засіданні кафедри нарисної

геометрії та інженерної графіки

Протокол № 7 от 03.03.2007 р.

З А Т В Е РД Ж Е Н О

на засіданні навчально – видавничої

ради ДонНТУ

Протокол № 6 від 24.04.2007 р.

- 2007 -

УДК 515

Нарисна геометрія (конспект лекцій) /Укл.: Катькалова О. А., Коломієць А. Ф., Пастернак Д. М., Скідан І. А. – Донецьк: ДВНЗ ДонНТУ. 2007. – 100 с., іл.

Посібник містить навчальний матеріал з нарисної геометрії за темами „Точка. Пряма. Площина.”, „Способи перетворення креслень” та „Перетин поверхонь багатогранників площиною” . Для студентів вищих технічних навчальних закладів III – IV рівнів акредитації напрямку підготовки „Інженерна механіка”.

Укладачі: О. А. Катькалова, доц.,

А. Ф. Коломієць, проф.,

Д. М. Пастернак, проф.,

І. А. Скідан, проф.

Рецензент: М. С. Гармаш, доц.

© Катькалова О. А., Коломієць А. Ф., Пастернак Д. М., Скідан І. А.

ЗМІСТ

С.

Умовні позначення.............................................................................5

Вступ......................................................................................................6

1 Проекції точки..................................................................................7

1.1 Утворення додаткових систем площин проекцій.......................11

1.2 Креслення без вказування осей проекцій....................................12

Запитання для самоперевірки.............................................................13

2 Проекції прямої...............................................................................14

2.1 Пряма, що не паралельна жодній із площин проекцій...............14

2.2 Прямі, що паралельні та перпендикулярні до площин проекцій .....14

2.3 Визначення натуральної довжини відрізка прямої загального положення та кутів нахилу її до площин проекцій.....................................17

2.4 Точка і пряма..................................................................................19

2.5 Сліди прямої...................................................................................20

2.6 Дві прямі.........................................................................................22

2.7 Відстані та кути між двома прямими...........................................24

Запитання для самоперевірки.............................................................26

3 Площина...........................................................................................27

3.1 Подання площини на кресленні...................................................27

3.2 Побудова слідів площини.............................................................28

3.3 Точка і пряма у площині...............................................................28

3.4 Головні лінії площини...................................................................29

3.5 Площини, що перпендикулярні та паралельні площинам

проекцій..........................................................................................................31

Запитання для самоперевірки.............................................................32

4 Взаємне положення прямої і площини, двох площин.............33

4.1 Пряма паралельна площині...........................................................33

4.2 Площини взаємно паралельні.......................................................34

4.3 Побудова лінії перетину двох площин........................................34

4.4 Перетин прямої з площиною........................................................38

4.5 Пряма перпендикулярна до площини..........................................41

4.6 Взаємно перпендикулярні площини............................................42

Запитання для самоперевірки.............................................................43

5 Розв’язування геометричних задач з використанням

геометричних місць................................................................................. ...45

6 Способи перетворення креслень..................................................49

6.1 Загальні положення.......................................................................49

6.2 Чотири основні задачі....................................................................51

6.3 Спосіб заміни площин проекцій...................................................52

6.4 Способи обертання.........................................................................55

6.5 Обертання навколо ліній рівня......................................................61

6.5.1 Спосіб обертання навколо слідів площини (суміщення).........66

6.6 Спосіб допоміжного проекціювання...........................................69

Запитання для самоперевірки............................................................75

7 Багатогранники. Перетин багатогранників з площиною,

розгортання багатогранників..................................................................77

7.1 Зображення багатогранників.......................................................77

7.2 Побудова проекцій ліній перетину площин з багатогранником 77

Запитання для самоперевірки............................................................84

8 Взаємний перетин багатогранників...........................................85

8.1 Перетин прямої лінії з багатогранником....................................85

8.2 Побудова лінії взаємного перетину багатогранників...............86

Запитання для самоперевірки............................................................95

Коротка історична довідка..............................................................96

Список літератури............................................................................100

Умовні позначення

1. Точки простору (оригінали) позначаються великими літерами латиниці A, B, C, D, E та цифрами 1, 2, 3.

2. Лінії (прямі і криві) – малими літерами латиниці a, b, c, d.

3. Площини та поверхні – великими літерами грецької абетки – Γ, Δ,Λ, Θ, Σ, Φ, Ψ, Ω.

4. Площини проекцій – Великими літерами грецької абетки з відповідними індексами Π₁, П₂, П₃ (основні) та додаткові П₄, П₅, П₆.

5. Осі проекцій – малими літерами латиниці з відповідними індексами x₁₂, y₁₃, z₂₃, x₁₄, x₄₅.

6. Проекції точок позначаються тими самими літерами чи цифрами, якими позначені точки-оригінали, з відповідними індексами:

горизонтальні – А₁, В₁, С₁, 1₁, 2₁, 3₁;

фронтальні – А₂, В₂, С₂, 1₂, 2₂, 3₂;

профільні – А₃, В₃, С₃, 1₃, 2₃, 3₃;

додаткові – А₄, В₄, С₄, 1₄, 2₄, 3₄;

7. Проекції ліній позначаються тими самими літерами, якими позначені лінії-оригінали, з відповідними індексами:

горизонтальні – a₁, b₁, c₁, d₁,...;

фронтальні – a₂, b₂, c₂, d₂,...;

профільні – a₃, b₃, c₃, d₃,...;

додаткові – a₄, b₄, c₄, d₄,...;

8. Проекції горизонтальних прямих – h₁, h₂, h₃, h₄; h¹₁, h¹₂, h¹₃, h¹₄.

9. Проекції фронтальних прямих – f₁, f₂, f₃, f₄; f¹₁, f¹₂, f¹₃, f¹₄.

10. Проекції профільних прямих – p₁, p₂, p₃, p₄.

11. Сліди прямих – F, H, P; їхні проекції – F₁, F₂, F₃; H₁, H₂, H₃; P₁.

12. Сліди площин – f⁰, h⁰, p⁰; їхні проекції – f⁰₁, f⁰₂, f⁰₃; h⁰₁, h⁰₂, h⁰₃; p⁰₁.

13. Точки сходу слідів площин позначаються літерами, якими позначені площини, з відповідними індексами – Γ_x, Δ_x, Λ_x; Γ_y, Δ_y; Γ_я, Δ_z.

14. Проекції переміщених фігур - , , , .

15. Збігання проекцій різних фігур позначається символом  .

16. Належність однієї фігури до іншої позначається символом  .

17. Перетинання фігур позначається символом .

18. Результат геометричних операцій позначається символом =.

19. Подання площин на кресленні:

Γ(a; b) – площина подана прямими a i b, що перетинаються;

Δ(cd) – площина подана паралельними прямими c i d;

Σ(ΔABC) – площина подана трикутником ABC;

Θ(f⁰, h⁰) – площина подана слідами f⁰ i h⁰.

20. Кути позначаються малими літерами грецької абетки , , .

21. Паралельність прямих та площин позначається символом .

22. Перпендикулярність позначається символом .

ВСТУП

Нарисна геометрія та інженерна графіка – це одна із загальноосвітніх дисциплін, які формують у майбутніх фахівців технічне мислення, просторове уявлення і здатність до творчих підходів у розв’язуванні різноманітних технічних задач. Вона містить у собі два розділи: “Нарисна геометрія” і “Інженерна графіка”. Нарисна геометрія є одним із розділів геометрії, в якому вивчаються різноманітні методи відображення просторових форм на площині чи поверхні, а також методи розв’язування задач геометричного характеру за зображеннями на площині чи поверхні. Різні методи відображення просторових форм використовуються залежно від особливостей зображуваних об’єктів. На цей час відомо декілька десятків методів, кожний із яких було створено для певної групи об’єктів.

Серед численних зображень, які є предметом вивчення у нарисній геометрії, особливе місце посідають зображення предметів, які виконуються за особливими правилами за допомогою спеціальних інструментів у відповідності з розмірами предмета – це креслення. Саме креслення та правила їх практичного виконання і оформлення є об’єктом вивчення в інженерної графіки. Нарисна геометрія слугує теоретичною основою інженерної графіки. Не дарма основоположник нарисної геометрії Г. Монж сказав: „Креслення – це мова техніка”, В. І. Курдюмов додав: „..., а нарисна геометрія – граматика цієї мови”.

З появою комп’ютерних технологій значно розширилися можливості розв’язування найскладніших геометричних задач нарисної геометрії і інженерної графіки, прискорилися процеси виготовлення технічної документації, поліпшилися точність та естетичний вигляд документів. У зв’язку з цим у нарисній геометрії з’явилися додаткові розділи – “Обчислювальна геометрія” і “Комп’ютерна графіка”, в яких вивчаються способи комп’ютерного моделювання просторових форм та виготовлення конструкторської і іншої документації. Але сам по собі комп’ютер не може виготовити будь-якого документа. Це лише сучасний досконалий інструмент, який значно підвищує якість креслення та прискорює процес його виготовлення. І керує цим процесом людина, від глибини і широти знань якої залежить, наскільки швидко і якісно виконуються ці документи та загалом – наскільки ефективно використовуються комп’ютерні технології. В сучасних умовах, використовуючи комп’ютерні технології, конструктор може не тільки виконувати креслення, а й керувати процесом виготовлення деталей та складанням механізмів і машин.

Вивчення нарисної геометрії вимагає від студентів напруженої роботи мозку, а це сприяє розвитку просторових уявлень, які конче потрібні для творчої діяльності інженера. Крім того, нарисна геометрія передає у практику деякі свої висновки та правила, за якими виконуються технічні креслення, що сприяє підвищенню точності та виразності документації.