2.4. Центр давления

Центр давления ― точка пересечения равнодействующих сил с поверх-

ностью, воспринимающей давление.

l_D = l_c + I / (s ∙ l_c) (2.6)

Центр давления всегда расположен ниже центра тяжести на величину

отношения момента инерции i_о к статическому моменту.

Определим точку D ее приложения (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Эта точка лежит в плоскости стенки, т.е. в плоскости координатных осей

x’0z’, поэтому необходимо определить только две ее координаты: x’_d и z’_d.

Для определения координаты z’_d воспользуемся теоремой Вариньона,

согласно которой момент равнодействующей системы параллельных сил отно-

сительно некоторой оси равен сумме моментов сил ее составляющих относит-

тельно той же оси. В качестве такой оси выберем ось 0x’, тогда уравнение

моментов запишется в следующем виде:

М (Р) _0x’ = Σ М (dР)_0x’. (2.7)

Момент силы Р

М (Р)_0x’ = Pz’_d. (2.8)

По теореме о моментах инерции относительно параллельных осей можем записать:

J_0x = J_o + z’_c²ω, (2.9)

где J_о ― момент инерции площади ω относительно оси, проходящей через

центр тяжести площади ω и параллельной оси 0x’; z’_c ― расстояние от центра

тяжести площади ω до той же оси 0x’.

Сделав соответствующие подстановки в уравнение (2.8), получим:

z’d = (2.10)

В формуле (2.9) > 0, так как J_o > 0 и z’_cω > 0. Следовательно,

z’_d > z’_c и h_d > h_с, т.е. центр давления (точка D) лежит на большей глубине,

чем центр тяжести (точка С) данной площади ω.

2.5. Давление жидкости на плоскую стенку

Предположим, что плоская стенка, ограждающая некоторую массу

неподвижной жидкости, наклонена к горизонту под углом α. Определим силу Р,

с которой жидкость действует на выбранную в пределах этой стенки площадь

ω (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

На каждую точку этой площади действует гидростатическое давление

р = dP/dω, (2.11)

где dP – элементарная сила; dω – элементарная площадка.

Следовательно, сила, с которой жидкость действует на элементарную

площадку dω, будет равна dP = pdω. Эта сила направлена по нормали к плоскости

стенки.

Искомую силу Р, с которой покоящаяся жидкость действует на площадь

ω, можно найти как равнодействующую системы параллельных сил dP, равную

их алгебраической сумме:

Р = . (2.12)

Статический момент площади относительно любой оси, лежащей в той

же плоскости, равен произведению этой площади на расстояние от центра ее

тяжести до оси моментов.

Таким образом,

(2.13)

где z’_c ― расстояние от точки С (центра тяжести площади ω) до оси 0x’ (оси

моментов).

Р = р_оω + γsin α z’_cω. (2.14)

Первое слагаемое представляет собой силу атмосферного давления на

свободную поверхность, передаваемого жидкостью по закону Паскаля, а второе ―

силу давления, оказываемого на стенку уже самой жидкостью.

Произведение z’_cω sinα равно глубине h_с погружения центра тяжести

площади ω относительно уровня свободной поверхности, поэтому

Р = р_оω + ρgh_cω. (2.15)