1.6. Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется состояние, при котором она неподвижна относительно стенок заключающего её и движущегося с постоянным ускорением сосуда. При этом жидкость перемещается с сосудом как единое целое.

В случае относительного покоя на частицы жидкости массой dm действуют две массовые силы: сила тяжести и сила инерции переносного движения , где – ускорение переносного движения.

При равномерном прямолинейном движении сосуда силы инерции переносного движения отсутствуют, и условия относительного равновесия совпадают с условиями равновесия жидкости в неподвижном сосуде.

1.6.1. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда

При движении сосуда с постоянным ускорением в плоскости xoz под углом α к горизонту (рис. 1.4) вектор напряжения массовых сил

одинаков для всех точек жидкости.

Рис. 1.4. Сосуд с жидкостью, движущейся вдоль наклонной плоскости вправо с постоянным ускорением а

Дифференциальное уравнение гидростатики Эйлера (1.28) в рассматриваемом случае принимает вид

dP=ρ(X dx + Y dy + Z dz) = -ρ acos α dx – ρ(g+asin a)dz (1.44)

Изобарические поверхности (поверхности уровня) – параллельные плоскости, наклоненные к горизонтали под углом φ, для которого

(1.45)

Распределение давления в жидкости

P=P₀+ρa(x₀ – x) cos a + ρ (g+a sin a)(z₀ – z) (1.46)

где x₀ – координаты произвольной фиксированной точки свободной поверхности, определяемые объёмом жидкости, находящейся в сосуде;

P₀ – абсолютное давление на свободной поверхности.

Распределение давления по вертикали при x= const (h – глубина точки под свободной поверхностью)

P = P_{0 +} ρ (g+a sin a)h (1.47)

При вертикальном движении сосуда (если a=90⁰, то ускорение направлено вверх, если a=270⁰ – вниз) φ=0, и свободная поверхность горизонтальна. Распределение давления по вертикали в этом случае

P = P_{0 +} ρ (g ± a)h (1.48)

При горизонтальном движении сосуда (a=0) тангенс угла наклона свободной поверхности к горизонту равен

Tgφ= (1.49)

и распределение давления по вертикали имеет вид

P=P₀+ρgh (1.50)

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

1.6.2. Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряжения массовых сил

(1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dP=ρ[ω² (xdx + ydy) - gdz] = ρ(ω² rdr – gdz) (1.52)

ω²

Уравнение свободной поверхности (P=P₀)

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (P=const)

–

(1.54)

где z₀ – координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности – параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью oz, а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изобарических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R – радиус сосуда)

H = ω² R²/2g (1.55)

Координата z₀ его вершины определяется объёмом жидкости в сосуде. Если начальный уровень в сосуде h₀, то

(1.56)

откуда h₁ = h₀ = H/2.

Закон распределения давления в жидкости

(1.57)

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоянной угловой скоростью ?

Изменение давления по вертикали (h – глубина точки под свободной поверхностью):

P=P₀ + ρ gh

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1.Какие силы действуют на жидкость при её относительном покое?

2.Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описывающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением?

3.Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описывающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой скоростью и вертикальной осью вращения?

4.Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при её относительном покое?