7.2. Основной закон фильтрации и границы его применения

А. Дарси экспериментально установил, что для условий его опытов зависимость расхода от потерь напора имеет следующий вид:

Q = kф(h1-2/l)=kф si, (7.5)

где kф - коэффициент фильтрации, учитывающий как свойства жидкости (ρ, η), так и фильтрационные свойства породы (ее проницаемость); s - площадь фильтрации (в опытах Дарси s=const); h₁-₂-потери на­пора; i

-гидравлический уклон.

По уравнению Бернулли, пренебрегая за малостью скоростей фильт­рации кинетическими членами, потери напора

h1-2=(z1+p1/ρg)-(z2+p2/ρg)→h1-2/z=i

Так как z1-z2=l h1-2=(l+p1/ρg)-p2/ρg.

Выражение (62) носит название закона Дарси. Оно показывает, что расход жидкости при фильтрации прямо пропорционален площади фильтрации, гидравлическому уклону и коэффициенту фильтрации.

Разделив выражение (62) на площадь фильтрации s, получим закон Дарси для скорости фильтрации жидкости:

U=kфi, (7.6)

где i – гидравлический уклон. Так как i- величина безразмерная, коэффициент фильтрации имеет размерность скорости и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Коэффициент фильтрации зависит от свойств породы и жидкости, поэтому его обычно используют для гидротехнических расчетов в тех случаях, когда жидкость одна и та же - вода. Для нефтегазопромыслового дела, где рассматривается фильтрация различных жидкостей (вода, нефть, конденсат, газ), оказалось необходимым выделить фильтрацион­ные свойства породы в отдельный коэффициент, названный коэффи­циентом проницаемости k.

Коэффициент проницаемости k и коэффициент фильтрации kф свя­заны соотношением

k=kфη/ρg. (7.7)

Из этого выражения следует, что единица измерения k - квадратный метр (м²), т. е. коэффициент проницаемости имеет размерность площади. Для реальных нефтегазоносных пластов k≈10ˉ¹² -10ˉ¹ м². В практике используют ее дольную часть - квадратный микрометр, т.е. 10ˉ¹² м².

Преобразуем уравнение (7.5) к удобному для нефтепромысловых расчетов виду. Для этого заменим коэффициент фильтрации kф на коэффициент проницаемости k, используя выражение (7.7):

Q=s∙kρg/η∙h1-2/l=s∙k/η∙ρgh1-2/l.

Но ρgh1-2= p*=p1* - p2*, где p1* и p2* - давления в сечениях 1-1 и 2-2, приведенные к плоскости сравнения (p1*=p1+ρgz1, p2*=p2+ρgz2). В результате замены получим

Q=s∙k/η∙ p*/l. (7.8)

Решим выражение (7.8) относительно k:

k=Qηl/ ps. (7.9)

Закон Дарси называют линейным законом фильтрации, так как при его соблюдении расход Q прямо пропорционален разности давлений p (аналогично ламинарному течению в трубах). Данное условие соблю­дается в большинстве случаев фильтрации нефти и воды, поэтому линейный закон фильтрации широко используют при расчетах. В об­ласти значительных скоростей фильтрации (например, у стенок сква­жины) этот закон иногда нарушается, и потери давления растут быстрее расхода (аналогично турбулентному течению в трубах). Законы, описы­вающие такую фильтрацию, называют нелинейными.

Граница перехода линейной фильтрации к нелинейной определяется критическим значением числа Рейнольдса. Расчетные формулы для его определения имеют более сложный, чем в трубной гидравлике, вид, так как они должны учитывать и характеристики пористой среды. Из формул для Rе, предложенных разными авторами, в нефтяной и газовой промышленности наиболее употребительная формула Щелкачева:

Re=10U√kρ/(m²³η) (7.10)

где k,m - коэффициенты Критические значения числа Рейнольдса для этой формулы получены из анализа экспериментальных данных: Ке_кр = 0,032 -г- 14 (меньшие критические значения соответствуют сцементированным породам, напри­мер песчаникам, большие - рыхлым пескам*.

проницаемости и пористости породы.