§ 4. Теорема разложения

Рассмотрим важный частный случай нахождения оригинала, когда изображение его представляет собой правильную рациональную дробь, т. е. где и многочлены.

1. Допустим, что корни знаменателя простые.

Как известно всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, т. е.

(10.11)

Если известны и , то оригинал определится формулой

так как

Коэффициенты находятся следующим образом: умножим (10.11) на и перейдем к пределу при Получим

игинал для изображения000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Следовательно, оригинал для изображения выразится формулой

(10.12)

2. Если же знаменатель имеет кратные корни, то разложение дроби на простейшие имеет вид

Умножая обе части этого равенства на получим

(10.13)00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Переходя к пределу при , найдем в (10.13), будем иметь

Продифференцировав равенство (10.13) по и перейдя к пределу при , найдем

Таким образом, можно найти все

И следовательно, оригинал будет иметь вид

(10.14)

Таким образом, мы доказали, что если изображение является дробно- рациональной функцией и – полюсы этой функции, то соответствующий оригинал определяется формулой (10.14), т. е. в рассматриваемом случае оригинал может быть найден без формулы (10.8).

Пример. Найти оригинал. Имеем полюс третьего порядка, простой полюс:

Следовательно,

Пример. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Пусть , тогда уравнение в изображениях будет иметь вид

,

отсюда

Пользуясь теоремой разложения, получим оригинал, предварительно представив изображение в виде суммы простейших дробей:

Следовательно, Таким образом, мы получаем решение задачи, не находя общего решения дифференциального уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.

2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.

3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.

4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.

5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.

47