§ 2. Свойства преобразования Лапласа

Теорема линейности.

Любой линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений. Доказательство. Исходя из определения изображения (10.1), имеем

Пример

Пример. Найдем изображения тригонометрических и гиперболических функций, применяя теорему линейности

Теорема подобия

Если и число то

Доказательство. По определению (10.1)

В последнем интеграле сделаем замену переменной u = at, тогда

Пример. Так как , то следовательно,

Теорема запаздывания

Если F (p) является изображением для оригинала f (t) и число t₀>0, то функция

имеет изображение

Функцию g (t) можно записать, пользуясь определением единичной функции, так

ơ (t)= ơ (t - t₀) f (t - t₀).

Графиком функции g (t) является график функции f (t), сдвинутый вправо на t₀ вдоль оси t.

Доказательство. Опираясь на равенство (10.1), имеем

ơ (t - t₀) f (t - t₀)

Обозначая t – t₀ = , получим

Пример. Найдем изображение функции

график который изображен на рисунке (10.1)

Рис. 10.1

С помощью единичной функции можно данную функцию записать в виде

Тогда по теореме запаздывания и зная, что (t), будем иметь

Теорема смещения

Если и - любое комплексное число, то

Доказательство. По определению преобразования Лапласа имеем

Причем изображение F (p - p₀) определено при Re (p – p₀)> s₀ т. е. в полуплоскости

Re p > s₀ +Re p₀. Теорему смещения можно использовать для отыскания оригинала смещенного изображения F (p – p₀), зная оригинал F (p).

Например, зная изображение для функции находим изображение для затухшей функции

Аналогично, если

то

Теорема свертывания

Пусть f₁ (t)F (p) и f₂ (t)F₂ (p). Функция называется свертываемой функцией f₁ (t) и f₂ (t) и обозначается обычно так f_1* f₂. При этом имеет место следующая теорема:

Оригинал, соответствующий произведению двух изображений. Равен свертке оригиналов сомножителей, т. е.

Доказательство. По определению преобразования Лапласа (10.1) имеем

В этом интеграле переменим порядок интегрирования (см. рис. 10.2).

Получим

Рис. 10.2

Во внутреннем интеграле произведем подстановку тогда получим

Пример. Найти оригинал по его изображению

Так как то на основании теоремы свертывания

Теорема дифференцирования оригинала.

Если

Доказательство. Преобразованием Лапласа для является интеграл

Интегрируя по частям, получим

так как при

Последнее верно, потому что f (t) является оригиналом и, следовательно,

Последовательным применением этой теоремы можно получить изображения для производных высшего порядка:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

тогда

Уравнение в изображениях будет иметь вид

Итак, есть решение данного дифференциального уравнения.

Следствия. Асимптотическое поведение изображения

1. Если f (t) оригинал, а F (p) аналитическая в бесконечности функция, то

(10.6)

В самом деле, любое изображение, аналитическое в бесконечности, стремиться к нулю при Поэтому изображение функции равное стремится к нулю при т. е. Откуда следует равенство (10.6).

Пользуясь этим предельным соотношением, можно найти начальное значение оригинала по его изображению не вычисляя самого оригинала.

2. Если оригинал и существует предел при то

(10.7)

Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала

Перейдем к пределу при

отсюда имеем

так как по предположению существует. (Возможность перехода к пределу под знаком интеграла можно обосновать.)

Теорема интегрирования оригинала.

Если

Доказательство. Пусть изображением является функция Ф (p). Тогда по теореме дифференцирования оригинала будем иметь

,

Следовательно, то есть

Итак,

Пример. Найти оригинал по его изображению

Так как то

Теорема дифференцирования изображения

Если

Доказательство. Пользуясь равенством (10.1) напишем

Продифференцируем по параметру p это выражение

А это и означает, что является изображением для

Пример. Зная, что и применяя теорему дифференцирования изображения, получим

Теорема интегрирования изображения

Если и сходится, то

Доказательство. Пусть изображением для является функцией Тогда по теореме дифференцирования изображения т. е.

Интегрируя последнее равенство от p до q и переходя к пределу при получим

или же

Здесь мы воспользовались тем, что при что следует из (10.3).

Пример. Найти изображение функции

Так как то