Упражнения

1. Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой, если:

А — множество всех квадратов;

В — множество всех прямоугольников;

С — множество всех четырехугольников с прямыми углами;

D — множество всех прямоугольников с равными сторонами;

F — множество всех ромбов с прямыми углами.

Ответ: A=D=F; B=C.

2. Для каждого из слов: «сосна», «осколок», «насос», «колос» составьте множество его различных букв. Имеются ли среди них равные?

Ответ. А={с,о,н,а} ,В= {о,с,к,л}, С={н,а,с,о},D={к, о,л,с};А=С, В=D.

Алгебраические операции над множествами и их свойства излагаются, обычно, с применением кругов Эйлера или диаграмм Венна (рис. 4), а бинарные отношения иллюстрируются на матрицах и графах. Благодаря этому основные понятия теории множеств можно представить в табличной или графической форме.

Множества можно определять также при помощи операций над некоторыми другими множествами. Пусть имеются два множества А и В.

Объединение (сумма) АВ есть множество всех элементов, принадлежащих А или В, т. е.

АВ = {хА или хВ}.

Например, {1, 2, 3}{2, 3, 4}={1, 2, 3, 4).

Пересечение (произведение) АВ есть множество всех элементов, принадлежащих как А, так и В т. е.

AB = {xA и xB}.

Например, {1,2, 3}{2, 3, 4}={2, 3}. Множества, не имеющие общих элементов (АВ = ), называют непересекающимися (расчлененными).

Разность А\В есть множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В, т. е.

А\В={хА и хВ}.

Например, (1, 2, 3} \ {2, 3, 4}={1}. Ее можно рассматривать как относительное дополнение В до А.

Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма) А  В есть множество всех элементов, принадлежащих или А, или В (но не обоим вместе), т. е.

A  B=(A\B}(B\A).

Например, {1, 2, 3}  {2, 3, 4}={1, 4}. Дизъюнктивная сумма получается объединением элементов множеств за исключением тех, которые встречаются дважды.

Рис.4

Пример. Пусть А = {1,2,3,4,5}; В= {2,4,6,8,10}.Являются ли эти множества равными? Определите пересечение, объединение, разности этих двух множеств. Одинаковы ли множества А\В и В\А?

Решение. Множества А и В не равны друг другу, так как содержат разные элементы. Между элементами этих множеств может быть установлено однозначное соответствие, поэтому множества являются эквивалентными. Пересечение множеств А\В включает только те элементы, которые содержатся в обоих множествах, поэтому АВ={2,4}. Обьединение АВ включает все элементы, содержащиеся хотя бы в одном из множеств А или В, таким образом, АВ={1,2,3,4,5,6,8,10}. Разность А\В={1,3,5}, а разность В\А={6,8,10}. Очевидно, что А\В и В\А не равны. Симметрическая разность А  В={1,3,5,6,8,10}.

Упражнения

1. Даны два множества: А={1,2,3,4,5,6} и В={3,6,9,12}. Найти объединение, пересечение, разности этих множеств.

Ответ. АВ ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12}; АВ ={3, 6}; А\В={1,2,4,5}; В\А={9,12}. А  В={1,2,4,5,9, 12}.

2. По данным промежуткам А=(—7; 1] и В = [—3; 4] на числовой прямой определить А  В, А  В, А\В, В\А, А  В.

Ответ. АВ=(-7; 4]; АВ= [-3; 1]; А\В=(-7; -3); В\А=(1,4]; А  В = (-7;-3)и(1;4].

3. Даны множества А={0,1,2,3,4,5,6,7}, В={3,4,5,6,7,8, 9}, С ={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, D ={2, 3, 4, 5, 6}. Задайте списком множество (AB)(CD).

Ответ: (AB)(CD)={2,3,4,5,6,7}.

Примеры (с использованием кругов Эйлера):