- •Павел Власович Грес математика для гуманитариев
- •Содержание
- •Предисловие
- •Предисловие к первому изданию
- •I. Методологические проблемы математики
- •1.1. Предмет математики
- •1.2. Математический язык: особенность, становление и развитие
- •1.3. Геометрия Евклида — первая естественно-научная теория
- •1.4. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •2. Теория множеств
- •2.1. Множества. Операции над множествами
- •Упражнения
- •Упражнения
- •2.2. Множества и отношения
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •3. Элементы дискретной математики
- •3.1. Элементы комбинаторики
- •3.1.1. Основные правила комбинаторики
- •3.12. Размещения
- •3.13. Перестановки
- •3.14. Сочетания
- •3.2. Элементы теории графов
- •4. Элементы математической логики
- •4.1. Сущность математической логики
- •4.2. Особенности математической логики
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •5. Введение в математический анализ
- •5.1. Понятие функции
- •5.2. Предел функции
- •6. Дифференциальное исчисление
- •6.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •6.2. Приложения производной
- •6.2.1. Исследования на экстремум
- •6.2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.2.3. Вычисление пределов: раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
- •Контрольные вопросы и упражнения:
- •В. Брюсов
- •7. Интегральное исчисление
- •7.1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования
- •7.2. Определенный интеграл
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •8. Дифференциальные уравнения
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •9. Основы теории вероятностей и математической статистики
- •9.1. Событие и вероятность: основные понятия, определение вероятности
- •9.1.1. Понятие о случайном событии
- •9.1.2. Определение вероятности
- •9.13. Алгебра событий
- •9.2. Случайные величины
- •9.3. Основные понятия математической статистики
- •Характеристики и параметры статистической совокупности
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •10. Математическое моделирование и принятие решений
- •10.1. Математические методы и моделирование в целенаправленной деятельности
- •10.2. Исследование операций и принятие решений
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •Варианты заданий для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Программа курса
- •Тема 1. Предмет математики. Методологические проблемы и принципы
- •Извлечения из государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
- •Библиографический список
Контрольные вопросы и упражнения
1. Как называется: множество точек плоскости, удаленных от данной точки О на расстояние r,
множество цветов, стоящих в вазе;
множество людей, обучающихся в вузе;
множество букв А, Б, В, Г...
-
Выпишите все подмножества множества В={1,2,3}.
-
Запишите множество А перечислением его элементов. Пусть А = [kN: 1,4 < k < 8}, здесь N — множество натуральных чисел.
-
Приведите пример квадратного уравнения, множество корней которого является пустым.
-
Пусть А — множество людей, населяющих Европу; В— множество людей, населяющих Азию, С—множество людей, населяющих Евразию. Укажите иерархию этих множеств. В каких случаях каждое множество может выступить в роли основного множества?
-
Даны два множества: А = {1, 2, 3, 4} и В = {3, 4, 5, 6}.Запишите множества, представляющие:
пересечение А В;
объединение А В;
разность А \ В;
симметрическую разность А В.
-
Даны два множества: А = {1, 3, 5, 7} и В = {2, 4, 6}.Запишите множества, представляющие: AB AВ; А\В; А В.
-
Даны три множества А, В, С (см.рис.). Покажите (штриховкой) АВС
-
Дайте перечень элементов множества, являющегося пересечением двух множеств А и В, где А — множество с критерием принадлежности «месяц продолжительностью меньше, чем 31 день»; В — множество с критерием принадлежности понятию «месяц минимум 30 дней».
-
Дайте определение понятию «бинарное отношение».Приведите примеры.
-
Задано отношение у/х на множестве М = [у/х — целое, 1y7; 1x3} (см. рис.). Построить соответствующую матрицу или таблицу, имеющую А столбцов и В строк, и отметить в ней единицами элементы, удовлетворяющие заданному отношению, а нулями — все остальные. Построить также стрелочную диаграмму отношения у/х.
-
Каковы свойства отношения эквивалентности? Запишите их.
-
В чем заключается значение эквивалентности?
-
Дана совокупность множеств J; J={A,B,C,D,E,F}, где А={1,2,3}; B={a,b}; C={m,n,k}; D—множество натуральных чисел; Е— множество четных чисел; F— множество нечетных чисел. На сколько классов эквивалентности множеств можно разбить совокупность J?
-
Какие отношения выражает фраза: «Каждый Охотник Желает Знать Где Сидят Фазаны»
-
Превратите «муху в слона» (отношение толерантности определяется сходством между четырехбуквенными словами, если они отличаются только одной буквой):
муха - мура – тура - _________________ кафе - ___________ - крюк - ______________ слон.
Число, место и комбинация - три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи.
Дж. Сильвестр
3. Элементы дискретной математики
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке. Например: сколько различных четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?